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$解：如图，连接OD.$
$∵正方形的边长为1，即OC=CD=1$
$∴OD=\sqrt{O{C}^2+C{D}^2}=\sqrt{2}$
$∴AC=OA-OC=\sqrt{2}-1$
$∵DE=DC，BE=AC，\widehat{BD}=\widehat{AD}$
$∴S_{阴}=S_{矩形ACDF}=AC×CD=\sqrt{2}-1$

$解：连接OD、OE、OF$
$∵\odot O是△ABC的内切圆，且切点分别为D、E、F$
$∴BD=BE，AD=AF，CE=CF$
$∵∠OEC=∠C=∠OFC=90°，OE=OF$
$∴四边形OECF是正方形$
$则BC=BE+EC=BD+OE=6+r，AC=AF+CF=AD+OF=4+r$
$则在Rt△ABC中，(6+r)^2+(4+r)^2=(6+4)^2$
$∴r=2$
$∴\odot O的半径为2$

$解：(1)连接OB$
$∵\odot O的半径为1$
$∴OB=1$
$∵AB与\odot O相切，切点为点B$
$∴∠OBA=90°$
$∴OB^2+AB^2=OA^2，即1^{2}+AB^2=2^{2}$
$∴AB=\sqrt{3}$
$(2)过点B作BE⊥x轴，垂足为点E$
$\frac 12 \cdot AO \cdot BE=\frac 12 \cdot OB \cdot AB$
$∴BE=\frac {\sqrt{3}}2$
$在Rt△OBE中，OE=\sqrt{OB^2-BE^2}=\frac 12$
$∴B(\frac 12，\frac {\sqrt{3}}2)$
$设直线AC：y=kx+b(k≠0)$
$将点B(\frac 12，\frac {\sqrt{3}}2)、A(2，0)代入得\begin{cases}\dfrac {\sqrt{3}}2=\dfrac 12k+b\\0=2k+b\end{cases}$，$解得\begin{cases}k=-\dfrac {\sqrt{3}}3\\b=\dfrac {2\sqrt{3}}3\end{cases}$
$∴直线AC的函数表达式为y=-\frac {\sqrt{3}}3x+\frac {2\sqrt{3}}3$

$解：连接OD、OE、OF$
$∵\odot O是△ABC的内切圆，且切点分别为D、E、F$
$∴BD=BE，AD=AF，CE=CF$
$∵∠OEC=∠C=∠OFC=90°，OE=OF$
$∴四边形OECF是正方形$
$则BC=BE+EC=BD+OE=6+r，AC=AF+CF=AD+OF=4+r$
$则在Rt△ABC中，(6+r)^2+(4+r)^2=(6+4)^2$
$∴r=2$
$∴\odot O的半径为2$

$解：(1)连接OB$
$∵\odot O的半径为1$
$∴OB=1$
$∵AB与\odot O相切，切点为点B$
$∴∠OBA=90°$
$∴OB^2+AB^2=OA^2，即1^{2}+AB^2=2^{2}$
$∴AB=\sqrt{3}$
$(2)过点B作BE⊥x轴，垂足为点E$
$\frac 12 \cdot AO \cdot BE=\frac 12 \cdot OB \cdot AB$
$∴BE=\frac {\sqrt{3}}2$
$在Rt△OBE中，OE=\sqrt{OB^2-BE^2}=\frac 12$
$∴B(\frac 12，\frac {\sqrt{3}}2)$
$设直线AC：y=kx+b(k≠0)$
$将点B(\frac 12，\frac {\sqrt{3}}2)、A(2，0)代入得\begin{cases}\dfrac {\sqrt{3}}2=\dfrac 12k+b\\0=2k+b\end{cases}$，$解得\begin{cases}k=-\dfrac {\sqrt{3}}3\\b=\dfrac {2\sqrt{3}}3\end{cases}$
$∴直线AC的函数表达式为y=-\frac {\sqrt{3}}3x+\frac {2\sqrt{3}}3$

$ 解：(1)∵∠APB=30°$
$∴∠AOB=60°，又OA=OB$
$∴△AOB是等边三角形$
$∴⊙O的半径是2$
$(2)∵点P到直线AB的距离为x$
$∴△PAB的面积为\frac {1}{2}×2×x=x$
$弓形AB的面积=扇形AOB的面积-△AOB的面积$
$=\frac {60π×{2}^2}{360}-\sqrt{3}$$=\frac {2}{3}π-\sqrt{3}$
$∴y=x+\frac {2}{3}π-\sqrt{3}(0＜x≤2+\sqrt{3})$
$ 解：(1)∵∠APB=30°$
$∴∠AOB=60°，又OA=OB$
$∴△AOB是等边三角形$
$∴⊙O的半径是2$
$(2)∵点P到直线AB的距离为x$
$∴△PAB的面积为\frac {1}{2}×2×x=x$
$弓形AB的面积=扇形AOB的面积-△AOB的面积$
$=\frac {60π×{2}^2}{360}-\sqrt{3}$$=\frac {2}{3}π-\sqrt{3}$
$∴y=x+\frac {2}{3}π-\sqrt{3}(0＜x≤2+\sqrt{3})$
$解：如图，连接OD.$
$∵正方形的边长为1，即OC=CD=1$
$∴OD=\sqrt{O{C}^2+C{D}^2}=\sqrt{2}$
$∴AC=OA-OC=\sqrt{2}-1$
$∵DE=DC，BE=AC，\widehat{BD}=\widehat{AD}$
$∴S_{阴}=S_{矩形ACDF}=AC×CD=\sqrt{2}-1$
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