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​$解：连接AD$​
​$∵AB是圆O的直径$​
​$∴∠ACB=∠ADB=90°$​
​$∵AB=10，AC=6$​
​$∴ BC=\sqrt {AB^2-AC^2}=8$​
​$∵CD是∠ACB的平分线$​
​$∴∠ACD=∠BCD$​
∴ $\widehat{AD}=\widehat{BD}$
​$∴AD=BD$​
∵ $AB^2=AD^2+BD^2$
∴ $AD=5\sqrt2$

​$解：连接AD$​
​$∵AB是圆O的直径$​
​$∴∠ACB=∠ADB=90°$​
​$∵AB=10，AC=6$​
​$∴ BC=\sqrt {AB^2-AC^2}=8$​
​$∵CD是∠ACB的平分线$​
​$∴∠ACD=∠BCD$​
∴ $\widehat{AD}=\widehat{BD}$
​$∴AD=BD$​
∵ $AB^2=AD^2+BD^2$
∴ $AD=5\sqrt2$

$解：连接EF，如图$
$∵四边形ABCD内接于⊙O$
$∴∠A+∠BCD=180°$，$而∠BCD=∠ECF$
$∴∠A+∠ECF=180°$
$∵∠ECF+∠1+∠2=180°$
$∴∠1+∠2=∠A$
$∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°$
$即∠A+∠E+∠1+∠2+∠F=180°$
$∴∠A+50°+30°+∠A=180°$
$∴∠A=50° $


$解：连接EF，如图$
$∵四边形ABCD内接于⊙O$
$∴∠A+∠BCD=180°$，$而∠BCD=∠ECF$
$∴∠A+∠ECF=180°$
$∵∠ECF+∠1+∠2=180°$
$∴∠1+∠2=∠A$
$∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°$
$即∠A+∠E+∠1+∠2+∠F=180°$
$∴∠A+50°+30°+∠A=180°$
$∴∠A=50° $


$解：当D在直径AB的上方时，如图所示：$
$∵AB为圆O的直径$
$∴∠ADB=90°，即△ABD为直角三角形$
​$ 又AD=1，AB=2，即AD=\frac 12AB$​
$∴∠ABD=30°$
$∴∠DAB=60°，又∠BAC=30°$
$∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=60°-30°=30°$
$当D在直径AB的下方时，如图所示：$
$∵AB为圆O的直径$
$∴∠ADB=90°，即△ABD为直角三角形$
​$ 又AD=1，AB=2，即AD=\frac 12AB$​
$∴∠ABD=30°$
$∴∠DAB=60°，又∠BAC=30°$
$∴∠CAD=∠BAD+∠BAC=60°+30°=90°$
$综上，∠CAD=30°或90°$

$解：当D在直径AB的上方时，如图所示：$
$∵AB为圆O的直径$
$∴∠ADB=90°，即△ABD为直角三角形$
​$ 又AD=1，AB=2，即AD=\frac 12AB$​
$∴∠ABD=30°$
$∴∠DAB=60°，又∠BAC=30°$
$∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=60°-30°=30°$
$当D在直径AB的下方时，如图所示：$
$∵AB为圆O的直径$
$∴∠ADB=90°，即△ABD为直角三角形$
​$ 又AD=1，AB=2，即AD=\frac 12AB$​
$∴∠ABD=30°$
$∴∠DAB=60°，又∠BAC=30°$
$∴∠CAD=∠BAD+∠BAC=60°+30°=90°$
$综上，∠CAD=30°或90°$

$解：OP//BC，理由如下：$
$连接AB交PO于D$
$∵PA、PB是圆O的切线$
$∴PO垂直平分AB$
$∴∠AOD+∠DAO=90°$
$∵AC是直径$
$∴∠ABC=90°$
$∴∠BAC+∠BCA=90°$
$∴∠BCA=∠AOD$
$∴OP//BC $

$解：OP//BC，理由如下：$
$连接AB交PO于D$
$∵PA、PB是圆O的切线$
$∴PO垂直平分AB$
$∴∠AOD+∠DAO=90°$
$∵AC是直径$
$∴∠ABC=90°$
$∴∠BAC+∠BCA=90°$
$∴∠BCA=∠AOD$
$∴OP//BC $

$(1)解：∠BAC＞∠BDC．$
$证明如下：$
$连接BE，$
$∵∠BEC＞∠BDC，∠BAC=∠BEC，$
$∴∠BAC＞∠BDC．$
$(2)解：∠BAC＜∠BDC．理由如下：$
$延长BD交⊙O于E，连接CE，如图，$
$∵∠BDC＞∠E，$
$而∠BAC=∠E，$
$∴∠BAC＜∠BDC．$
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