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解：$ \triangle OCD $是等腰三角形。
理由如下：在$ \odot O $中，
$ \because OA，OB $是半径，
$ \therefore OA = OB $，
$ \therefore \angle OAB = \angle OBA $。
又$ \because AC = BD $，
$ \therefore \triangle OAC \cong \triangle OBD $（$ SAS $）。
$ \therefore OC = OD $，
$ \therefore \triangle OCD $是等腰三角形。
$解：⊙O的半径为3\ \mathrm {cm}，A为的线段OP的中点，$
$(1)因为OA=\frac {1}{2}OP=2＜3，所以点A在⊙O内.$
$(2)因为OA=\frac {1}{2}OP=3=3，所以点A在⊙O上.$
$(3)因为OA=\frac {1}{2}OP=4＞3，所以点A在⊙O外$
解：根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$，已知$AC = 4$，$BC = 3$，则$AB=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16 + 9}=\sqrt{25}=5$。
因为$E$是$AB$中点，所以$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}=2.5$。
已知圆$B$半径$r = BC = 3$。
对于点$A$：
计算$BA$的长度，$BA = 5$，因为$5＞3$，所以点$A$在$\odot B$外。
对于点$C$：
因为$BC = 3$（圆$B$半径），所以点$C$在$\odot B$上。
对于点$E$：
因为$BE = 2.5$，$2.5＜3$，所以点$E$在$\odot B$内。
对于点$F$：
计算$BF$的长度，$F$是$AC$中点，$CF=\frac{1}{2}AC = 2$，根据勾股定理$BF=\sqrt{BC^{2}+CF^{2}}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{9 + 4}=\sqrt{13}\approx3.6$，因为$\sqrt{13}＞3$，所以点$F$在$\odot B$外。
综上，点$A$在$\odot B$外，点$C$在$\odot B$上，点$E$在$\odot B$内，点$F$在$\odot B$外。
解：根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$，已知$AC = 4$，$BC = 3$，则$AB=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16 + 9}=\sqrt{25}=5$。
因为$E$是$AB$中点，所以$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}=2.5$。
已知圆$B$半径$r = BC = 3$。
对于点$A$：
计算$BA$的长度，$BA = 5$，因为$5＞3$，所以点$A$在$\odot B$外。
对于点$C$：
因为$BC = 3$（圆$B$半径），所以点$C$在$\odot B$上。
对于点$E$：
因为$BE = 2.5$，$2.5＜3$，所以点$E$在$\odot B$内。
对于点$F$：
计算$BF$的长度，$F$是$AC$中点，$CF=\frac{1}{2}AC = 2$，根据勾股定理$BF=\sqrt{BC^{2}+CF^{2}}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{9 + 4}=\sqrt{13}\approx3.6$，因为$\sqrt{13}＞3$，所以点$F$在$\odot B$外。
综上，点$A$在$\odot B$外，点$C$在$\odot B$上，点$E$在$\odot B$内，点$F$在$\odot B$外。
解：点$B$、$C$、$D$、$E$在以点$M$为圆心的同一个圆上。
理由如下：
因为$BD$、$CE$是$\triangle ABC$的高，所以$\triangle BCD$和$\triangle BCE$都是直角三角形。
在$Rt\triangle BCD$中，$M$是$BC$的中点，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得$MD = \frac{1}{2}BC$。
在$Rt\triangle BCE$中，同理可得$ME = \frac{1}{2}BC$。
又因为$MB = MC=\frac{1}{2}BC$。
所以$MB = MC = MD = ME$。
根据圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点称为圆心，定长称为半径。
所以点$B$、$C$、$D$、$E$在以点$M$为圆心，$MB$（或$MC$或$MD$或$ME$）为半径的同一个圆上。
解：点$B$、$C$、$D$、$E$在以点$M$为圆心的同一个圆上。
理由如下：
因为$BD$、$CE$是$\triangle ABC$的高，所以$\triangle BCD$和$\triangle BCE$都是直角三角形。
在$Rt\triangle BCD$中，$M$是$BC$的中点，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得$MD = \frac{1}{2}BC$。
在$Rt\triangle BCE$中，同理可得$ME = \frac{1}{2}BC$。
又因为$MB = MC=\frac{1}{2}BC$。
所以$MB = MC = MD = ME$。
根据圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点称为圆心，定长称为半径。
所以点$B$、$C$、$D$、$E$在以点$M$为圆心，$MB$（或$MC$或$MD$或$ME$）为半径的同一个圆上。
解：连接$OC$。
因为$CD\perp AB$，所以$\triangle OCD$是直角三角形。
在$Rt\triangle OCD$中，根据勾股定理$OC^{2}=OD^{2} + CD^{2}$。
已知$CD = 4$，$OD = 3$，则$OC=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$。
因为$AB$是$\odot O$的直径，$OC$是半径，所以$AB = 2OC$。
所以$AB=2×5 = 10$。
综上，$AB$的长为$10$。

解：连接$OC$。
因为$CD\perp AB$，所以$\triangle OCD$是直角三角形。
在$Rt\triangle OCD$中，根据勾股定理$OC^{2}=OD^{2} + CD^{2}$。
已知$CD = 4$，$OD = 3$，则$OC=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$。
因为$AB$是$\odot O$的直径，$OC$是半径，所以$AB = 2OC$。
所以$AB=2×5 = 10$。
综上，$AB$的长为$10$。

解：根据题意画出图形，如图所示，连接AC、BD；
∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=90°
∵∠BAD=90°，AB=5，AD=12
∴BD=13，则AC=13
∵AB=5，AC=13，点B在⊙A内，点C在⊙A外
∴⊙A的半径r的取值范围为5＜r＜13
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