点$P'$与点$P''$关于原点对称；坐标之间横坐标和纵坐标都互为相反数。
【答案】：
(1) $(1, 3)$
(2) $(-1, -3)$
(3) 点$P'$与点$P''$关于原点对称；坐标之间横坐标和纵坐标都互为相反数。
归纳：$(a, -b)$；$(-a, b)$；$(-a, -b)$
【解析】：
(1) 点$P(1, -3)$关于$x$轴对称，横坐标不变，纵坐标取反，所以对称点$P'$的坐标为$(1, 3)$。
(2) 点$P(1, -3)$关于$y$轴对称，纵坐标不变，横坐标取反，所以对称点$P''$的坐标为$(-1, -3)$。
(3) 点$P'$与点$P''$关于$z$轴（在这里是二维平面，因此可以理解为直线$y=x$或$y=-x$的对称性质，但在二维坐标系中直接观察可知它们关于原点对称）对称（在二维坐标系中表现为关于原点对称），坐标之间的联系是横坐标和纵坐标都互为相反数。
归纳：
如果点$P$的坐标为$(a, b)$，
那么点$P$关于$x$轴对称的点的坐标为$(a, -b)$，
关于$y$轴对称的点的坐标为$(-a, b)$，
关于坐标原点$O$对称的点的坐标为$(-a, -b)$。
【答案】：
(1)$(0, 2)$，(2)$(\sqrt{2}, \sqrt{2})$。
【解析】：
(1) 点$P(2,0)$在$x$轴正半轴上，距离原点2个单位长度。当它绕原点逆时针旋转$90^\circ$后，会落在$y$轴正半轴上，距离原点仍然是2个单位长度，此时坐标变为$(0,2)$。
(2) 利用旋转矩阵或者构造等腰直角三角形来求解。
设$P''(x,y)$，由于旋转$45^\circ$，可以通过构造等腰直角三角形来求解。
过$P''$作$P''H\perp x$轴于点$H$。
在$Rt\triangle OPH$中，$OP=\sqrt{2^2}=2$。
$\because\angle POP''=45^\circ$。
$\therefore OH=PH=\sqrt{2}$。
$\because P''$在第二象限。
$\therefore P''$坐标为$(\sqrt{2},\sqrt{2})$。
【答案】：
(1) $(-3, 2)$
(2) $(-2, 1)$
【解析】：
(1) 点$P(2,3)$绕原点按逆时针方向旋转$90^\circ$，根据旋转的性质，点$P'$的坐标可以通过旋转矩阵计算得到，或者通过几何方法得到。在二维坐标系中，一个点$(x, y)$绕原点逆时针旋转$90^\circ$后的新坐标是$(-y, x)$。
因此，点$P(2,3)$旋转后的坐标是$(-3, 2)$。
(2) 对于点$P(2,3)$绕点$(1,0)$逆时针旋转$90^\circ$，可以先将点$P$平移到以$(1,0)$为原点的新坐标系中，然后应用旋转，最后再平移回原坐标系。
点$P$在新坐标系中的坐标是$(2-1, 3-0) = (1,3)$。
旋转后，新坐标系中的点$P''$的坐标是$(-3,1)$（应用$(-y, x)$的规则）。
再平移回原坐标系，得到$P''$的坐标是$(-3+1, 1+0) = (-2,1)$，或者通过向量运算$\vec{OP''} = \vec{OP} × R(\theta) + \vec{O'}$，其中$R(\theta)$是旋转矩阵，$\vec{O'}$是旋转中心的坐标。
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