第70页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

在$ \triangle PAB $中，因为$ PA \perp l ，$所以$ \angle PAB = 90^\circ ，$$ \triangle PAB $是直角三角形。根据直角三角形的性质，直角边小于斜边，而$ PA $是直角边，$ PB $是斜边，所以$ PA ＜ PB 。$由于点$ B $是直线$ l $上任意一点（除点$ A $外），因此直线外一点$ P $和直线$ l $上各点的连线段中，垂线段$ PA $最短。

$m^2 + h^2$

$n^2 + h^2$

$AB^2$

$(m + n)^2$

$m^2 + h^2 + n^2 + h^2=(m + n)^2$

 $a_{1}=\sqrt{2}，$$a_{2}=\sqrt{3}，$$a_{3}=2，$$a_{4}=\sqrt{5}，$$a_{5}=\sqrt{6}，$$a_{6}=\sqrt{7}；$规律：$a_{n}=\sqrt{n+1}$

 在数轴上，以原点为一个顶点，作一个直角边分别为$\sqrt{5}$和1的直角三角形（其中$\sqrt{5}$可由直角边为2和1的直角三角形的斜边得到），其斜边长度即为$\sqrt{6}，$以原点为圆心，该斜边长度为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{6}$的点。

 $a_{99}=10，$$a_{n}=\sqrt{n+1}$

【答案】：
（1）图形见解析；（2）理由见解析

【解析】：
(1)画图：画直线l，在直线l外取一点P，过点P作PO⊥l于点O（O为垂足），在直线l上取不同于O的任意一点A，连接PA。
(2)理由：在Rt△POA中，∠POA=90°，由勾股定理得PA²=PO²+OA²。因为A≠O，所以OA＞0，OA²＞0，故PA²=PO²+OA²＞PO²，又PA、PO均为正数，所以PA＞PO。即直线外一点P与直线l上各点连线段中，垂线段PO最短。

【答案】：
$m^2 + h^2$；$n^2 + h^2$；$AB^2$；$(m + n)^2$；$m^2 + h^2+n^2 + h^2=(m + n)^2$。

【解析】：
在$Rt\triangle ADC$中，根据勾股定理，$AC^2 = m^2 + h^2$；
在$Rt\triangle DBC$中，根据勾股定理，$BC^2 = n^2 + h^2$；
在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理，$AC^2 + BC^2 = AB^2=(m + n)^2$；
将$AC^2 = m^2 + h^2$，$BC^2 = n^2 + h^2$代入$AC^2 + BC^2 =(m + n)^2$可得：
$m^2 + h^2+n^2 + h^2=(m + n)^2$
$m^2 + h^2+n^2 + h^2=m^2+2mn+n^2$
$2h^2 = 2mn$
即$h^2 = mn$。

【答案】：
(1)a₁=√2,a₂=√3,a₃=2,a₄=√5,a₅=√6；规律：aₙ=√(n+1)；(2)图略；(3)a₉₉=10,aₙ=√(n+1)

【解析】：
(1)构造直角三角形，以1为直角边，依次以斜边为新直角边，另一直角边为1，由勾股定理得：
a₁=√(1²+1²)=√2，
a₂=√(a₁²+1²)=√(2+1)=√3，
a₃=√(a₂²+1²)=√(3+1)=√4=2，
a₄=√(a₃²+1²)=√(4+1)=√5，
a₅=√(a₄²+1²)=√(5+1)=√6；
规律：aₙ=√(n+1)。
(2)以数轴原点为圆心，a₅=√6为半径画弧，与正半轴交点即为表示√6的点。
(3)由规律aₙ=√(n+1)，得a₉₉=√(99+1)=10，aₙ=√(n+1)。