第38页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

$\angle CAB=\angle DAB$

$\angle CBA=\angle DBA$

$AC = AD$

$BC = BD$

3

当$\angle A$为顶角时：

$\angle B=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=\frac{1}{2}(180 - 80)=50^{\circ}$

当$\angle A$为底角，$\angle B$为顶角时：

$\angle B=180^{\circ}-2\angle A=180 - 2×80=20^{\circ}$

当$\angle A$为底角，$\angle B$为底角时：

$\angle B = \angle A = 80^{\circ}$

综上，$\angle B$的度数为$50^{\circ}$或$20^{\circ}$或$80^{\circ}$。

解：

已知等腰三角形$ABC$的周长为$8$，$AB = 3$。

当$AB$为腰时：

$BC = AB = 3$，此时底边长为$8 - 3 - 3 = 2$，满足三角形三边关系。

当$AB$为底边时：

腰长为$(8 - 3)÷2 = 2.5$，即$BC = 2.5$，满足三角形三边关系。

综上，$BC$的长为$3$或$2.5$。

设$\angle EBD = x$，因为$DE = EB$，所以$\angle EDB=\angle EBD = x$，

$\angle AED = \angle EBD + \angle EDB = 2x$

因为$AD = DE$，所以$\angle A=\angle AED = 2x$

$\angle BDC=\angle A+\angle EBD = 3x$

因为$BC = BD$，所以$\angle C=\angle BDC = 3x$

因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle C = 3x$

在$\triangle ABC$中，$\angle A+\angle ABC+\angle C = 180^{\circ}$，

即$2x + 3x + 3x=180^{\circ}$

$8x=180^{\circ}$

$x = 22.5^{\circ}$

所以$\angle A=2x = 45^{\circ}$

【答案】：
(1)线段：轴对称图形，垂直平分线上的点到两端距离相等；角：轴对称图形，平分线上的点到两边距离相等；等腰三角形：轴对称图形，两腰等、两底角等（等边对等角），三线合一；等边三角形：轴对称图形（3条对称轴），三边等、三角60°，具等腰三角形所有性质。(2)线段垂直平分线与角平分线：同是轴对称图形，均有点到两端（两边）距离相等性质，前者到端点距离等，后者到两边距离等；等腰与等边三角形：等边三角形是特殊等腰三角形，具其所有性质，等边三角形三边等、三角60°、3条对称轴，等腰三角形两腰等、两底角等、1条对称轴。(3)证明线段相等：全等三角形对应边、等角对等边、线段垂直平分线性质、中点定义、等式性质；证明角相等：全等三角形对应角、等边对等角、平行线性质、对顶角、同（等）角余（补）角、角平分线定义、等式性质。

【解析】：
(1)线段性质：①轴对称图形（对称轴为垂直平分线）；②垂直平分线上的点到两端距离相等。角性质：①轴对称图形（对称轴为角平分线所在直线）；②平分线上的点到两边距离相等。等腰三角形性质：①轴对称图形（对称轴为底边上的高所在直线）；②两腰相等，两底角相等（等边对等角）；③顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。等边三角形性质：①轴对称图形（3条对称轴）；②三边相等，三角均为60°；③具有等腰三角形所有性质。
(2)线段垂直平分线与角平分线性质比较：相同点：①轴对称图形；②均有点到两端（或两边）距离相等的性质。不同点：前者到线段两端距离相等，后者到角两边距离相等。等腰三角形与等边三角形性质比较：等边三角形是特殊等腰三角形，具有等腰三角形所有性质；不同点：等边三角形三边相等、三角60°、3条对称轴，等腰三角形两腰相等、两底角相等、1条对称轴。
(3)证明线段相等常用方法：①全等三角形对应边相等；②等角对等边；③线段垂直平分线上的点到两端距离相等；④中点定义；⑤等式性质。证明角相等常用方法：①全等三角形对应角相等；②等边对等角；③平行线的同位角（内错角）相等；④对顶角相等；⑤同角（等角）的余角（补角）相等；⑥角平分线定义；⑦等式性质。

【答案】：
1. $3$
2.（1）$50^{\circ}$或$20^{\circ}$或$80^{\circ}$；（2）$2$或$2.5$
3. $45^{\circ}$

【解析】：
1. 将$\triangle ADE$沿直线$DE$折叠，点$A$落在点$A'$处，所以$AD = A'D$，$AE = A'E$。
则$C_{阴影}=A'D + BD + A'E + CE + BC$
$= (AD + BD) + (AE + CE) + BC$
$= AB + AC + BC$
因为$\triangle ABC$是等边三角形，边长为$1$，所以$C_{阴影}= 1 + 1 + 1 = 3$。
2.（1）当$\angle A$为顶角时：
$\angle B=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=\frac{1}{2}(180 - 80)=50^{\circ}$
当$\angle A$为底角，$\angle B$为顶角时：
$\angle B=180^{\circ}-2\angle A=180 - 2×80=20^{\circ}$
当$\angle A$为底角，$\angle B$为底角时：
$\angle B = \angle A = 80^{\circ}$
综上，$\angle B$的度数为$50^{\circ}$或$20^{\circ}$或$80^{\circ}$。
（2）若$AB$为腰，$AC$为底：
则$AB = AC = 3$，$BC = 8 - 3 - 3 = 2$
若$AB$为底，$AC$为腰：
则$BC = AC=\frac{8 - 3}{2}=2.5$
综上，$BC$的长为$2$或$2.5$。
3. 设$\angle EBD = x$，因为$DE = EB$，所以$\angle EDB=\angle EBD = x$，$\angle AED = \angle EBD + \angle EDB = 2x$
因为$AD = DE$，所以$\angle A=\angle AED = 2x$
$\angle BDC=\angle A+\angle EBD = 3x$
因为$BC = BD$，所以$\angle C=\angle BDC = 3x$
因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle C = 3x$
在$\triangle ABC$中，$\angle A+\angle ABC+\angle C = 180^{\circ}$，即$2x + 3x + 3x=180^{\circ}$
$8x=180^{\circ}$
$x = 22.5^{\circ}$
所以$\angle A=2x = 45^{\circ}$

【答案】：
$\angle CAB=\angle DAB$；$\angle CBA=\angle DBA$；$AC = AD$；$BC = BD$

【解析】：
若利用“AAS”说明$\triangle ABC\cong \triangle ABD$，已知$\angle C=\angle D = 90^{\circ}$，公共边为$AB$，还需要一对角相等，可添加$\angle CAB=\angle DAB$或$\angle CBA=\angle DBA$。
若利用“HL”说明$\triangle ABC\cong \triangle ABD$，因为$\angle C=\angle D = 90^{\circ}$，$AB$为公共边（斜边），则需要添加一对直角边相等，可添加$AC = AD$或$BC = BD$。