第39页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

4

1

 ∵AD=AE，

 ∴∠ADE=∠AED（等边对等角）。

 ∵∠ADE+∠ADB=180°，∠AED+∠AEC=180°，

 ∴∠ADB=∠AEC（等角的补角相等）。

 在△ABD和△ACE中，

 ∵AD=AE，∠ADB=∠AEC，BD=CE，

 ∴△ABD≌△ACE（SAS）。

 ∴AB=AC（全等三角形对应边相等）。

 ∴△ABC是等腰三角形。

 证明：连接EB，EC。

 ∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC，

 ∴EM=EN（角平分线上的点到角两边距离相等）。

 ∵BD=DC，DE⊥BC，

 ∴DE垂直平分BC，

 ∴EB=EC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。

 在Rt△EMB和Rt△ENC中，

 ∵EB=EC，EM=EN，

 ∴Rt△EMB≌Rt△ENC（HL），

 ∴BM=CN。

4

60

【答案】：
$\angle CAB=\angle DAB$；$\angle CBA=\angle DBA$；$AC = AD$；$BC = BD$

【解析】：
若利用“AAS”说明$\triangle ABC\cong \triangle ABD$，已知$\angle C=\angle D = 90^{\circ}$，公共边为$AB$，还需要一对角相等，可添加$\angle CAB=\angle DAB$或$\angle CBA=\angle DBA$。
若利用“HL”说明$\triangle ABC\cong \triangle ABD$，因为$\angle C=\angle D = 90^{\circ}$，$AB$为公共边（斜边），则需要添加一对直角边相等，可添加$AC = AD$或$BC = BD$。

【答案】：
4

【解析】：
在△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，所以AD⊥BC，∠ADC=90°（等腰三角形三线合一）。在Rt△ADC中，E是AC的中点，所以DE=1/2AC（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。因为AC=8，所以DE=1/2×8=4。

【答案】：
1

【解析】：
∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC=3，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°．
∵∠APE=60°，∠BAC=60°，在△APE中，∠PAE+∠PEA=180°-∠APE=120°；在△ABE中，∠ABE+∠AEB=180°-∠BAC=120°．
∵∠PEA=∠AEB（公共角），∴∠PAE=∠ABE，即∠CAD=∠ABE．
在△ABE和△CAD中，∠ABE=∠CAD，AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°，∴△ABE≌△CAD（ASA）．
∴AE=CD．∵CD=BC-BD=3-1=2，∴AE=2，∴CE=AC-AE=3-2=1．

【答案】：
4

【解析】：
1. 在$Rt \bigtriangleup ABC$中，已知$\angle C=90^\circ$，$AD$平分$\angle BAC$，交$BC$于点$D$，且$CD=4$。
2. 根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等。
3. 因此，点$D$到$AB$的距离等于点$D$到$AC$的距离。
4. 已知$CD$垂直于$AC$，所以$CD$的长度即为点$D$到$AC$的距离。
5. 所以点$D$到$AB$的距离等于$CD$的长度，即$4$。

【答案】：
60

【解析】：
因为$AB = AC$，$\angle BAC=120^{\circ}$，根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle BAC}{2}=\frac{180 - 120}{2}=30^{\circ}$。
因为$DE$是$AB$的垂直平分线（$DE$为图中垂直$AB$的直线），所以$DA = DB$，那么$\angle B=\angle BAD = 30^{\circ}$。
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，在$\triangle ABD$中，$\angle ADC=\angle B+\angle BAD$，所以$\angle ADC = 30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}$。