第28页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

$55^{\circ}$

$120^{\circ}$

$30^{\circ}$

$55^{\circ}，$$70^{\circ}；$或$62.5^{\circ}，$$62.5^{\circ}$

A

D

B

 EF与AD平行。理由如下：

 ∵AB=AC，

 ∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C。

 ∵AD⊥BC，

 ∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），即∠CAD=∠BAC/2。

 ∵E在CA延长线上，AE=AF，

 ∴△AEF是等腰三角形，∠E=∠AFE。

 在△AEF中，∠EAF+∠E+∠AFE=180°，

 ∴∠EAF=180°-2∠E。

 ∵C、A、E共线，

 ∴∠EAF=180°-∠BAC（邻补角定义）。

 ∴180°-∠BAC=180°-2∠E，即∠BAC=2∠E，

 ∴∠E=∠BAC/2。

 ∵∠CAD=∠BAC/2，

 ∴∠E=∠CAD。

 ∴EF//AD（内错角相等，两直线平行）。

 结论：EF//AD。

35°

30°

【答案】：
$\angle B$；$\angle C$；
$\triangle ABD\cong\triangle ACD(ASA)$，$BD = CD$；$\angle BAD=\angle CAD$，$BD = CD$；$\angle BAD=\angle CAD$，$AD\perp BC$。

【解析】：

对于等腰三角形，等边对等角，所以在$\triangle ABC$中，由于$AB = AC$，那么$\angle B=\angle C$。
在等腰$\triangle ABC$中，$AB = AC$：
（1）当$\angle BAD=\angle CAD$时，根据等腰三角形三线合一的性质（顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），可知$AD$是顶角平分线，所以$AD\perp BC$，$BD = CD$，即$\triangle ABD\cong\triangle ACD(ASA)$，所以$BD=CD$。
（2）当$AD\perp BC$时，因为等腰三角形三线合一，所以$AD$是底边上的高，同时也是顶角平分线和底边中线，可得$\angle BAD=\angle CAD$，$BD = CD$。
（3）当$BD = CD$时，由于等腰三角形三线合一，所以$AD$是底边中线，同时也是顶角平分线和底边上的高，即$\angle BAD=\angle CAD$，$AD\perp BC$。

【答案】：
[分析]
根据等腰三角形的性质，两个底角相等，利用三角形内角和定理（三角形三个内角的和等于$180^{\circ}$）求解即可。
[解答]
（1）已知$\angle A=70^{\circ}$
因为$AB=AC$
所以$\angle B=\angle C$（等腰三角形两底角相等）
因为三角形内角和为$180^{\circ}$
所以$\angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}=\frac{180^{\circ}-70^{\circ}}{2}=55^{\circ}$
答案为：$55^{\circ}$；$55^{\circ}$
（2）已知$\angle B=30^{\circ}$
因为$AB=AC$
所以$\angle B=\angle C=30^{\circ}$（等腰三角形两底角相等）
所以$\angle A=180^{\circ}-\angle B-\angle C=180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}$
答案为：$120^{\circ}$；$30^{\circ}$
（3）已知一个角等于$55^{\circ}$
若$\angle A=55^{\circ}$
因为$AB=AC$
所以$\angle B=\angle C$（等腰三角形两底角相等）
所以$\angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}=\frac{180^{\circ}-55^{\circ}}{2}=62.5^{\circ}$
若$\angle B=55^{\circ}$
因为$AB=AC$
所以$\angle B=\angle C=55^{\circ}$（等腰三角形两底角相等）
所以$\angle A=180^{\circ}-\angle B-\angle C=180^{\circ}-55^{\circ}-55^{\circ}=70^{\circ}$
若$\angle C=55^{\circ}$
因为$AB=AC$
所以$\angle B=\angle C=55^{\circ}$（等腰三角形两底角相等）
所以$\angle A=180^{\circ}-\angle B-\angle C=180^{\circ}-55^{\circ}-55^{\circ}=70^{\circ}$
答案为：$55^{\circ}$，$70^{\circ}$；或$62.5^{\circ}$，$62.5^{\circ}$
[总结]
通过对等腰三角形性质和三角形内角和定理的运用，逐步推导出各个角的度数。
[答案]
（1）$55^{\circ}$；$55^{\circ}$
（2）$120^{\circ}$；$30^{\circ}$
（3）$55^{\circ}$，$70^{\circ}$；或$62.5^{\circ}$，$62.5^{\circ}$

【解析】：
(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠A=70°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=∠C=(180°-70°)÷2=55°；
(2)∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°-30°-30°=120°；
(3)当55°角为顶角时，底角=(180°-55°)÷2=62.5°，其余两角为62.5°，62.5°；当55°角为底角时，顶角=180°-55°×2=70°，其余两角为55°，70°。

【答案】：
(1)A
(2)D
(3)B

【解析】：
(1)在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle A = 36^{\circ}$，根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}=\frac{180 - 36}{2}=72^{\circ}$。
因为$BD$是边$AC$上的高，所以$\angle BDC = 90^{\circ}$，在$\triangle BDC$中，$\angle DBC=180^{\circ}-\angle BDC-\angle C=180 - 90 - 72 = 18^{\circ}$。
(2)分两种情况讨论：
当等腰三角形的腰长为$10$，底边长为$7$时，根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），$10 + 10＞7$，$10 + 7＞10$，能构成三角形，此时周长为$10 + 10 + 7 = 27$。
当等腰三角形的腰长为$7$，底边长为$10$时，$7 + 7＞10$，$7 + 10＞7$，能构成三角形，此时周长为$7 + 7 + 10 = 24$。
所以它的周长是$27$或$24$。
(3)因为$CD = CE$，所以$\angle DEC=\angle D = 74^{\circ}$。
根据邻补角的性质，$\angle C = 180^{\circ}-2×74^{\circ}=180 - 148 = 32^{\circ}$。
又因为$AB// CD$，根据两直线平行，同位角相等，所以$\angle B=\angle C = 32^{\circ}$。

【答案】：
(1)35°；(2)30°；(3)7或11

【解析】：
(1)等腰三角形外角为70°，则内角为110°，110°只能为顶角，底角=(180°-110°)/2=35°；(2)AB=AC，∠A=40°，∠ABC=∠ACB=70°，BD=BC，∠BDC=∠ACB=70°，∠DBC=40°，∠ABD=70°-40°=30°；(3)设腰长2x，底y，中线分周长为3x和x+y。若3x=12，x=4，y=15-4=11；若3x=15，x=5，y=12-5=7，均符合三边关系，底边长7或11。