(1)
图①：因为AB=AC，∠A=50∘，根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为180∘，
可得∠C=2180∘−∠A=2180−50=65∘。
因为$BD$是边$AC$上的高，所以$\angle BDC = 90^{\circ}$，
在$\triangle BDC$中，$\angle DBC=180^{\circ}-\angle BDC-\angle C=180 - 90 - 65 = 25^{\circ}$。
图②：因为AB=AC，∠A=90∘，所以△ABC是等腰直角三角形，
∠C=2180∘−∠A=2180−90=45∘。
因为$BD$是边$AC$上的高，所以$\angle BDC = 90^{\circ}$，
在$\triangle BDC$中，$\angle DBC=180^{\circ}-\angle BDC-\angle C=180 - 90 - 45 = 45^{\circ}$。
图③：因为AB=AC，∠A=120∘，根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为180∘，
可得∠C=2180∘−∠A=2180−120=30∘。
因为$BD$是边$AC$上的高，所以$\angle BDC = 90^{\circ}$，
在$\triangle BDC$中，$\angle DBC=180^{\circ}-\angle BDC-\angle C=180 - 90 - 30 = 60^{\circ}$。
(2)$\angle BAC = 2\angle DBC$
(3)
证明：
因为$AB = AC$，所以$\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle BAC}{2}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC$。
因为$BD$是边$AC$上的高，所以$\angle BDC = 90^{\circ}$。
在$\triangle BDC$中，$\angle DBC=180^{\circ}-\angle BDC-\angle C=180 - 90-(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC)=\frac{1}{2}\angle BAC$。
即$\angle BAC = 2\angle DBC$。
综上，答案依次为：
(1)$25^{\circ}$；$45^{\circ}$；$60^{\circ}$；
(2)$\angle BAC = 2\angle DBC$；
(3)证明过程如上述。
