第25页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

A

（1）由折叠可知，$\angle DOC=\angle EOC$，

因为$\angle AOB=\angle AOC+\angle BOC=2\angle DOC+2\angle EOC$，

所以$\angle AOC=\angle BOC$，

根据角平分线的性质，点$P$在$\angle AOB$的角平分线上，

点$P$到$OA$和$OB$的距离相等，即PD=PE。

 角平分线上的点到角两边的距离相等

点$P$在$\angle AOB$的角平分线上，$PD\perp OA$，$PE\perp OB$。

PA=PB

线段AB的垂直平分线上。

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【答案】：
角平分线上的点到角两边的距离相等。

【解析】：
（1）由折叠可知，$\angle DOC=\angle EOC$，
因为$\angle AOB=\angle AOC+\angle BOC=2\angle DOC+2\angle EOC$，
所以$\angle AOC=\angle BOC$，
根据角平分线的性质，点$P$在$\angle AOB$的角平分线上，
点$P$到$OA$和$OB$的距离相等，
即$PD=PE$。
（2）角平分线上的点到角两边的距离相等。
（3）点$P$在$\angle AOB$的角平分线上，$PD\perp OA$，$PE\perp OB$。

【答案】：

首先填前两空：

如果点P在线段AB的垂直平分线上，那么PA=PB；

反过来，如果QA=QB，那么点Q在线段AB的垂直平分线上。

该猜想的正确的。

【解析】：

首先，我们分析题目给出的信息。
如果点P在线段AB的垂直平分线上，根据垂直平分线的定义，点P到线段AB的两个端点的距离是相等的，即$PA = PB$。
反过来，如果$QA = QB$，那么点Q到线段AB的两个端点的距离相等，根据垂直平分线的性质，我们可以得出点Q必定在线段AB的垂直平分线上。
对于角平分线的情况，题目给出如果点P在$\angle AOB$的平分线上，那么点P到OA,OB的距离相等。
我们可以提出反过来的猜想：如果点P到$\angle AOB$的两边OA, OB的距离相等，那么点P在$\angle AOB$的平分线上。
为了证明这个猜想，我们可以按照以下步骤进行：
第一步，过点P作$PD \perp OA$，$PE \perp OB$，垂足分别为D，E。
第二步，根据题目条件，我们知道$PD = PE$。
第三步，连接OP。由于$PD = PE$，且$\angle ODP = \angle OEP = 90^\circ$，同时OP是公共边，所以根据HL全等条件，我们可以得出$\triangle ODP \cong \triangle OEP$。
第四步，由于$\triangle ODP \cong \triangle OEP$，根据全等三角形的对应角相等，我们可以得出$\angle DOP = \angle EOP$。
第五步，根据角的平分线的定义，若一条射线将一个角分为两个相等的角，则这条射线是这个角的平分线。所以，OP是$\angle AOB$的平分线。
综上，我们证明了如果点P到$\angle AOB$的两边OA, OB的距离相等，那么点P在$\angle AOB$的平分线上。

【答案】：
A

【解析】：
根据角平分线的性质，角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。因此，三角形三个角的平分线交于一点，这一点到三角形的三条边距离相等。