第6页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

 （1）△ABD与△ADC的面积相等。理由如下：因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC。又因为△ABD和△ADC以BD和DC为底时，高相同（均为点A到BC的距离），根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（其中a为底，h为高），等底等高的三角形面积相等，所以$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ADC}。$

 （2）因为FG是△EFC的中线，所以$S_{\triangle EFG}=S_{\triangle GFC}=1，$则$S_{\triangle EFC}=S_{\triangle EFG}+S_{\triangle GFC}=1 + 1=2。$

 因为EF是△DEC的中线，所以$S_{\triangle DEF}=S_{\triangle EFC}=2，$则$S_{\triangle DEC}=S_{\triangle DEF}+S_{\triangle EFC}=2 + 2=4。$

 因为DE是△ADC的中线，所以$S_{\triangle ADE}=S_{\triangle DEC}=4，$则$S_{\triangle ADC}=S_{\triangle ADE}+S_{\triangle DEC}=4 + 4=8。$

 因为AD是△ABC的中线，所以$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ADC}=8，$则$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ADC}=8 + 8=16。$

(1)因为$\alpha= 70^\circ$，$\beta= 40^\circ$，所以$\angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle B = 180^\circ - 70^\circ - 40^\circ = 70^\circ$。因为$CE$是$\angle ACB$的角平分线，所以$\angle ACE = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} × 70^\circ = 35^\circ$。因为$CD$是$\triangle ABC$的高，所以$\angle ADC = 90^\circ$，所以$\angle ACD = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$。所以$\angle DCE = \angle ACE - \angle ACD = 35^\circ - 20^\circ = 15^\circ$。 (2)因为$\angle ACB = 180^\circ - \alpha - \beta$。因为$CE$是$\angle ACB$的角平分线，所以$\angle ACE = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} (180^\circ - \alpha - \beta)$。因为$CD$是$\triangle ABC$的高，所以$\angle ADC = 90^\circ$，所以$\angle ACD = 90^\circ - \alpha$。所以$\angle DCE = \angle ACE - \angle ACD = \frac{1}{2} (180^\circ - \alpha - \beta)-(90^\circ - \alpha)=\frac{1}{2}(\alpha - \beta)$。

【答案】：
36

【解析】：
设$\angle A = x$。
因为$\angle BDC = 3\angle A$，
所以$\angle BDC = 3x$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，$CD$平分$\angle BCA$，
所以设$\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle DCB=\frac{1}{2}\angle ACB$。
在$\triangle BDC$中，$\angle DBC + \angle DCB + \angle BDC = 180^{\circ}$，
即$\frac{1}{2}\angle ABC+\frac{1}{2}\angle ACB + 3x = 180^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，$\angle ABC + \angle ACB + \angle A = 180^{\circ}$，
所以$\angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} - x$。
将$\angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} - x$代入$\frac{1}{2}\angle ABC+\frac{1}{2}\angle ACB + 3x = 180^{\circ}$中，
得$\frac{1}{2}(180^{\circ} - x)+3x = 180^{\circ}$。
展开式子得$90^{\circ}-\frac{1}{2}x + 3x = 180^{\circ}$。
移项合并同类项得$\frac{5}{2}x = 90^{\circ}$。
解得$x = 36^{\circ}$，即$\angle A = 36^{\circ}$。

【答案】：
16

【解析】：
（1）根据中线的性质，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分。
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，所以$D$是$BC$的中点，即$BD = DC$。
所以$\triangle ABD$和$\triangle ADC$等底同高，即$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ADC} $，
即$\triangle ABD$与$\triangle ADC$的面积相等，都为$\triangle ABC$面积的一半。
（2）由于$AD$是$\triangle ABC$的中线，所以$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ADC} =\frac{1}{2}S_{\triangle ABC} $。
同理，$DE$是$\triangle ADC$的中线，所以$S_{\triangle ADE} = S_{\triangle CDE} =\frac{1}{2}S_{\triangle ADC}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC} $。
$EF$是$\triangle DEC$的中线，所以$S_{\triangle DFE} = S_{\triangle EFC} =\frac{1}{2}S_{\triangle DEC}=\frac{1}{8}S_{\triangle ABC} $。
$FG$是$\triangle EFC$的中线，所以$S_{\triangle EFG} = S_{\triangle GFC} =\frac{1}{2}S_{\triangle EFC}=\frac{1}{16}S_{\triangle ABC} $。
已知$S_{\triangle GFC} = 1$，所以$\frac{1}{16}S_{\triangle ABC}=1$，
因此，$S_{\triangle ABC} = 1 × 16 = 16$。

【答案】：
(1)$15°$ (2)$\frac{1}{2}(\alpha - \beta)$

【解析】：
(1)因为$\alpha= 70^\circ$，$\beta= 40^\circ$，
所以$\angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle B = 180^\circ - 70^\circ - 40^\circ = 70^\circ$。
因为$CE$是$\angle ACB$的角平分线，
所以$\angle ACE = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} × 70^\circ = 35^\circ$。
因为$CD$是$\triangle ABC$的高，
所以$\angle ADC = 90^\circ$，
所以$\angle ACD = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$。
所以$\angle DCE = \angle ACE - \angle ACD = 35^\circ - 20^\circ = 15^\circ$。
(2)因为$\angle ACB = 180^\circ - \alpha - \beta$。
因为$CE$是$\angle ACB$的角平分线，
所以$\angle ACE = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} (180^\circ - \alpha - \beta)$。
因为$CD$是$\triangle ABC$的高，
所以$\angle ADC = 90^\circ$，
所以$\angle ACD = 90^\circ - \alpha$。
所以$\angle DCE = \angle ACE - \angle ACD = \frac{1}{2} (180^\circ - \alpha - \beta)-(90^\circ - \alpha)=\frac{1}{2}(\alpha - \beta)$。