第45页 - 苏科版七年级伴你学数学答案（上下册）

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 数轴上表示$x$的点与表示$-1$的点之间的距离

$1$或$-3$

$1$

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$\frac{1}{13×16}$

$\frac{1}{3}×\left(\frac{1}{13}-\frac{1}{16}\right)$

$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$

$\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}\right)$

(3)解：

已知$a_{n}=\frac{1}{3}×(\frac{1}{3n - 2}-\frac{1}{3n + 1})$，则$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+\cdots+a_{100}$

$=\frac{1}{3}×(1 - \frac{1}{4})+\frac{1}{3}×(\frac{1}{4}-\frac{1}{7})+\frac{1}{3}×(\frac{1}{7}-\frac{1}{10})+\cdots+\frac{1}{3}×(\frac{1}{298}-\frac{1}{301})$。

根据乘法分配律$ab+ac=a(b + c)$，这里$a=\frac{1}{3}$，$b = 1-\frac{1}{4}$，$c=\frac{1}{4}-\frac{1}{7},\cdots$，

则$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{100}=\frac{1}{3}×[(1-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{7})+(\frac{1}{7}-\frac{1}{10})+\cdots+(\frac{1}{298}-\frac{1}{301})]$。

去括号得$\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+\cdots+\frac{1}{298}-\frac{1}{301})$。

中间项$-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=0$，$-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}=0$，$\cdots$，$-\frac{1}{298}+\frac{1}{298}=0$，所以$\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{301})$。

先计算括号内$1-\frac{1}{301}=\frac{301 - 1}{301}=\frac{300}{301}$。

再计算$\frac{1}{3}×\frac{300}{301}=\frac{100}{301}$。

(1) （此处需画图，因无法直接绘制数轴，故实际作答时应画出以快递站为原点，向东为正方向的数轴，标注出李村（+2）、郭庄（+6）、王庄（-4）的位置及行驶路线）
(2) 2 + 4 + 10 + 4 = 20(km)
答：小张骑行的路程是20km。

【答案】：
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【解析】：
因为$|a - 1| \geq 0$，$(b + 2)^2 \geq 0$，且$|a - 1| + (b + 2)^2 = 0$，所以$|a - 1| = 0$，$(b + 2)^2 = 0$。
由$|a - 1| = 0$，得$a - 1 = 0$，即$a = 1$。
由$(b + 2)^2 = 0$，得$b + 2 = 0$，即$b = - 2$。
则$a + b = 1 + (-2) = -1$。
所以$(a + b)^{2023} + a^{2024} = (-1)^{2023} + 1^{2024} = -1 + 1 = 0$。
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(1)$\frac{1}{13×16}$；$\frac{1}{3}×\left(\frac{1}{13}-\frac{1}{16}\right)$

(2)$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$；$\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}\right)$

(3)$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{100}=\frac{1}{3}\left[\left(1-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{7}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{298}-\frac{1}{301}\right)\right]=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{301}\right)=\frac{1}{3}×\frac{300}{301}=\frac{100}{301}$

(1)

式子$\vert x + 1\vert$的几何意义是数轴上表示$x$的点与表示$-1$的点之间的距离。

因为$\vert x + 1\vert = 2$，所以$x + 1 = 2$或$x + 1 = -2$，

解得$x = 1$或$x = -3$。

(2)

因为$\vert x - 3\vert = \vert x + 1\vert$，所以$x - 3 = x + 1$（无解）或$x - 3 = -(x + 1)$，

由$x - 3 = -(x + 1)$，

$x - 3 = -x - 1$，

$2x = 2$，

解得$x = 1$。

(3)

几何意义：

根据材料可知，$\vert x - 3\vert$的几何意义是数轴上表示$x$的点与表示$3$的点之间的距离，$\vert x + 1\vert=\vert x-(-1)\vert$的几何意义是数轴上表示$x$的点与表示$-1$的点之间的距离。

所以$\vert x - 3\vert+\vert x + 1\vert = 7$表示的几何意义是：数轴上表示$x$的点到表示$3$的点与到表示$-1$的点的距离之和为$7$。

求解$x$的值：

当$x\lt - 1$时：

$\vert x - 3\vert+\vert x + 1\vert=-(x - 3)-(x + 1)=7$，

即$-x + 3 - x - 1 = 7$，

$-2x+2 = 7$，

$-2x=7 - 2$，

$-2x = 5$，

解得$x=-\frac{5}{2}$。

当$-1\leqslant x\leqslant3$时：

$\vert x - 3\vert+\vert x + 1\vert=-(x - 3)+(x + 1)=7$，

即$-x + 3+x + 1 = 7$，

$4 = 7$，等式不成立，此区间无解。

当$x\gt3$时：

$\vert x - 3\vert+\vert x + 1\vert=(x - 3)+(x + 1)=7$，

即$x - 3+x + 1 = 7$，

$2x-2 = 7$，

$2x=7 + 2$，

$2x = 9$，

解得$x=\frac{9}{2}$。

$(4)$ 分析$\vert x - 3\vert+\vert x + 1\vert$是否有最小值及最小值和$x$的取值范围

根据绝对值的几何意义，$\vert x - 3\vert+\vert x + 1\vert$表示数轴上表示$x$的点到表示$3$的点与到表示$-1$的点的距离之和。

当$-1\leqslant x\leqslant3$时，$\vert x - 3\vert+\vert x + 1\vert$有最小值。

此时$\vert x - 3\vert+\vert x + 1\vert=(3 - x)+(x + 1)=3 - x+x + 1 = 4$。

综上，$(3)$ $x$的值为$-\boldsymbol{\frac{5}{2}}$或$\boldsymbol{\frac{9}{2}}$；$(4)$ 有最小值，最小值是$\boldsymbol{4}$，$x$的取值范围是$\boldsymbol{-1\leqslant x\leqslant3}$。