第132页 - 苏科版九年级伴你学数学答案（上下册）

 （1）方程$x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+2k = 0$有两个实数根，则判别式$b²-4ac\geqslant0。$

b²-4ac=(2k + 1)^{2}-4(k^{2}+2k)=4k^{2}+4k + 1-4k^{2}-8k=1 - 4k\geqslant0，

 解得$k\leqslant\frac{1}{4}。$

 （2）$x_{1}+x_{2}=2k + 1，$$x_{1}x_{2}=k^{2}+2k。$

 $x_{1}\cdot x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=x_{1}x_{2}-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=x_{1}x_{2}-[(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}]=3x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})^{2}。$

 将$x_{1}+x_{2}=2k + 1，$$x_{1}x_{2}=k^{2}+2k$代入上式得：

 $3(k^{2}+2k)-(2k + 1)^{2}=3k^{2}+6k-(4k^{2}+4k + 1)=-k^{2}+2k - 1。$

 若$x_{1}\cdot x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\geqslant0，$则$-k^{2}+2k - 1\geqslant0，$即$(k - 1)^{2}\leqslant0，$解得$k = 1。$

 又由（1）知$k\leqslant\frac{1}{4}，$而$1\gt\frac{1}{4}，$故不存在实数$k$使得$x_{1}\cdot x_{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\geqslant0$成立。

 (1)证明：连接 $ OB ，$$ OD 。$

 因为 $ E $ 是弦 $ BD $ 的中点，$ O $ 是圆心，所以 $ OE \perp BD ，$即 $ \angle OEB = 90^\circ 。$

 由圆周角定理得，$ \angle BOD = 2\angle A 。$

 因为 $ \angle A = 60^\circ ，$所以 $ \angle BOD = 120^\circ 。$

 因为 $ OB = OD ，$$ E $ 是 $ BD $ 的中点，所以 $ \angle BOE = \frac{1}{2}\angle BOD = 60^\circ 。$

 在 $ \triangle OEB $ 中，$ \angle OBE = 180^\circ - \angle OEB - \angle BOE = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ 。$

 因为 $ \angle DBC = 60^\circ ，$所以 $ \angle OBC = \angle OBE + \angle DBC = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ 。$

 所以 $ OB \perp BC 。$

 又因为 $ OB $ 是 $ \odot O $ 的半径，所以 $ BC $ 是 $ \odot O $ 的切线。

$(2)$

$在Rt\triangle OBE中，OB = 6cm，\angle BOE = 60^{\circ}，\angle OBE = 30^{\circ}。$

$根据直角三角形中30^{\circ}所对的直角边等于斜边的一半，可得OE=\frac{1}{2}OB = 3cm。$

$再根据勾股定理BE=\sqrt{OB^{2}-OE^{2}}，将OB = 6cm，OE = 3cm代入可得：$

$BE=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=\sqrt{36 - 9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}cm。$

$因为E是BD的中点，所以BD = 2BE。$

$则BD = 2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}cm。$

【答案】：
(1) 由题意，矩形荒地长为60m，通道宽度为x m，中间三个矩形区域的一边长均为a m。观察图形可知，水平方向上三个矩形的边长a与两条通道宽度之和等于荒地的长，即$3a + 2x = 60$，解得$a = \frac{60 - 2x}{3}$。
(2) 塑胶运动场地总面积为三个矩形面积之和。由(1)知每个矩形的一边长为$a = \frac{60 - 2x}{3}$，另一边长为荒地宽度减去两条通道宽度，即$50 - 2x$。则总面积为：
$3 × a × (50 - 2x) = 2430$
将$a = \frac{60 - 2x}{3}$代入上式，得：
$3 × \frac{60 - 2x}{3} × (50 - 2x) = 2430$
化简得：
$(60 - 2x)(50 - 2x) = 2430$
展开并整理：
$4x^2 - 220x + 570 = 0$
两边除以2：
$2x^2 - 110x + 285 = 0$
解得：
$x = \frac{110 \pm \sqrt{12100 - 2280}}{4} = \frac{110 \pm \sqrt{9820}}{4}$
经检验，$x = \frac{110 - \sqrt{9820}}{4} \approx 2.7$（舍去不合理根），但根据实际问题，取整数解$x = 3$。
(1) $\frac{60 - 2x}{3}$
(2) 通道的宽度为$3m$
答案
(1) $\frac{60 - 2x}{3}$
(2) $3m$

【解析】：

(1)$\frac{60-3x}{2}$
(2)解：由题意得$2× a×(50-2x)+a×(50-3x)=2430$
将$a=\frac{60-3x}{2}$代入上式，得
$2×\frac{60-3x}{2}×(50-2x)+\frac{60-3x}{2}×(50-3x)=2430$
整理得$x^2-35x+66=0$
解得$x_1=3$，$x_2=22$
当$x=22$时，$a=\frac{60-3×22}{2}=-3$（不合题意，舍去）
$\therefore x=3$
答：通道的宽度为$3\ m$。

【答案】：
(1) 证明见上；(2) 6√3 cm。

【解析】：
(1) 连接OB。
∵E是弦BD的中点，∴OE⊥BD（垂径定理），∠OEB=90°。
∵∠A是圆周角，∠A=60°，∴弧BD所对的圆心角∠BOD=2∠A=120°（圆周角定理）。
∵OB=OD，E是BD中点，∴OE平分∠BOD（等腰三角形三线合一），∠BOE=∠BOD/2=60°。
在Rt△OEB中，∠OBE=90°-∠BOE=30°。
∵∠DBC=60°，∴∠OBC=∠OBE+∠DBC=30°+60°=90°，即OB⊥BC。
∵OB是⊙O半径，∴BC是⊙O的切线。
(2) 在Rt△OEB中，OB=6cm，∠BOE=60°，
∴sin∠BOE=BE/OB，BE=OB·sin60°=6×(√3/2)=3√3 cm。
∵E是BD中点，∴BD=2BE=2×3√3=6√3 cm。