$(1)$ 证明$AC$是$\odot O$的切线
- 连接$OA$，因为$BE$是$\odot O$的直径，所以$\angle BAE = 90^{\circ}$，
即$\angle OAE+\angle OAB = 90^{\circ}$。
又因为$OA = OE$，所以$\angle OAE=\angle OEA$。
由于$\angle OEA$与$\angle EDA$所对的弧都是$\overset{\frown}{AD}$，根据同弧所对的圆周角相等，
可得$\angle OEA=\angle EDA$。
已知$\angle EAC=\angle EDA$，所以$\angle OEA=\angle EAC$。
那么$\angle OAC=\angle EAC+\angle OAE=\angle OEA+\angle OAE = 90^{\circ}$，即$OA\perp AC$。
又因为$OA$是$\odot O$的半径，所以$AC$是$\odot O$的切线。
$(2)$ 求阴影部分的面积
因为$CE = AE = 2\sqrt{3}$，所以$\angle C=\angle CAE$。
又因为$\angle OEA=\angle EAC$，所以$\angle OEA = \angle C$。
设$\odot O$的半径为$r$，在$Rt\triangle OAC$中，$\angle OAC = 90^{\circ}$，$\tan\angle C=\frac{OA}{AC}$。
由$\angle OEA = \angle C$，$OA = r$，$OE = r$，$CE = 2\sqrt{3}$，$AC = 2\sqrt{3}$，
根据正弦函数$\sin\angle OEA=\frac{OA}{OE + CE}$，因为$\angle OEA = \angle C$，
$\angle OAC = 90^{\circ}$，$\angle AOE = 2\angle C$（圆心角是圆周角的$2$倍）。
又因为$\angle OEA=\angle EAC$，$\angle AOE+\angle OEA+\angle OAE = 180^{\circ}$，
$\angle OAE+\angle EAC = 90^{\circ}$，可得$\angle AOE = 60^{\circ}$。
- 已知$AE = 2\sqrt{3}$，在$\triangle AOE$中，$OA = OE$，$\angle AOE = 60^{\circ}$，
所以$\triangle AOE$是等边三角形，则$OA=AE = 2\sqrt{3}$。
- 阴影部分的面积$S_{阴影}=S_{\triangle AOE}-S_{扇形AOE}$。
$S_{\triangle AOE}=\frac{\sqrt{3}}{4}×(2\sqrt{3})^{2}= 3\sqrt{3}$。
$S_{扇形AOE}=\frac{60\pi×(2\sqrt{3})^{2}}{360}= 2\pi$。
所以$S_{阴影}=2\pi-3\sqrt{3}$
综上，$(1)$ 已证$AC$是$\odot O$的切线；$(2)$ 阴影部分的面积为$\boldsymbol2\pi-3\sqrt{3}$。
