(1) 在$\triangle AOC$中，$OA=OC=4$（半径相等），所以$\triangle AOC$是等腰三角形。
已知$\angle OAC=60^\circ，$根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为$180^\circ，$
$$可得$\angle AOC=180^\circ - 2\times60^\circ=60^\circ。$
(2) 因为$CP$与$\odot O$相切，所以$OC\perp CP，$即$\angle OCP=90^\circ。$由
(1)知$\angle AOC=60^\circ，$则$\angle POC=180^\circ - 60^\circ=120^\circ$（平角定义）。
在$Rt\triangle OCP$中，$\cos\angle POC=\frac{OC}{PO}，$即$\cos120^\circ=\frac{4}{PO}。$
$$因为$\cos120^\circ=-\frac{1}{2}，$所以$-\frac{1}{2}=\frac{4}{PO}，$
$$解得$PO=-8$（长度不能为负，取绝对值），故$PO=8。$
(3) 已知$\triangle CAO$的面积，$OA=OC=4，$$\angle AOC=60^\circ，$
$$其面积$S_{\triangle CAO}=\frac{1}{2}\times OA\times OC\times\sin\angle AOC$
$=\frac{1}{2}\times4\times4\times\sin60^\circ=4\sqrt{3}。$
对于$\triangle MAO，$$OA=OM=4$（半径），设$\angle AOM=\theta，$
$$则其面积$S_{\triangle MAO}=\frac{1}{2}\times OA\times OM\times\sin\theta=8\sin\theta。$
$$令$8\sin\theta=4\sqrt{3}，$得$\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}，$
$$所以$\theta=60^\circ$或$120^\circ$或$240^\circ$或$300^\circ$（因为动点$M$在圆上运
动一周，需考虑所有可能角度）。
因为圆的半径为$4，$弧长公式为$l=\frac{n\pi r}{180^\circ}$（$n$为圆心角度数）。
当$\theta=60^\circ$时，弧长$l_1=\frac{60^\circ\pi\times4}{180^\circ}=\frac{4\pi}{3}；$
当$\theta=120^\circ$时，弧长$l_2=\frac{120^\circ\pi\times4}{180^\circ}=\frac{8\pi}{3}；$
当$\theta=240^\circ$时，弧长$l_3=\frac{240^\circ\pi\times4}{180^\circ}=\frac{16\pi}{3}；$
当$\theta=300^\circ$时，弧长$l_4=\frac{300^\circ\pi\times4}{180^\circ}=\frac{20\pi}{3}。$
综上，动点$M$所经过的弧长为$\frac{4\pi}{3}，$$\frac{8\pi}{3}，$$\frac{16\pi}{3}，$
$$$\frac{20\pi}{3}。$
