会遇上台风。
设经过 $ t $ 小时后，轮船位于点 $ C ，$台风中心位于点 $ D 。$
以 $ A $ 为原点，向东为 $ x $ 轴正方向，向北为 $ y $ 轴正方向建立坐标系：
轮船位置：$ C(20t, 0) $（速度 $ 20 \, \text{n mile/h} ，$向东航行）；
台风中心位置：$ D(0, -100 + 40t) $（$ B $ 初始坐标 $ (0, -100) ，$速度 $ 40 \, \text{n mile/h} ，$向北移动）。
$ CD $ 距离为：
$ CD = \sqrt{(20t - 0)^2 + [0 - (-100 + 40t)]^2} = \sqrt{(20t)^2 + (100 - 40t)^2} $
若相遇，则 $ CD \leq 20\sqrt{10} ，$令 $ CD = 20\sqrt{10} $：
$ \sqrt{(20t)^2 + (100 - 40t)^2} = 20\sqrt{10} $
两边平方得：
$ (20t)^2 + (100 - 40t)^2 = (20\sqrt{10})^2 $
展开化简：
$ 400t^2 + 10000 - 8000t + 1600t^2 = 4000 $
$ 2000t^2 - 8000t + 6000 = 0 $
$ t^2 - 4t + 3 = 0 $
解得 $ t_1 = 1 ，$$ t_2 = 3 。$
最小正数解为 $ t = 1 。$
答：轮船最初遇到台风的时间为 $ 1 $ 小时。
