第65页 - 苏科版九年级伴你学数学答案（上下册）

30°

6

$\frac{π}{3}−\frac{\sqrt{3}}{4}$

(1) ①证明 $ CD $ 是 $ \odot O $ 的切线相关公式

1. 直径所对圆周角：$ \angle ACB = 90^{\circ} $（直径 $ AB $ 对应的圆周角）

2. 勾股定理：在 $ Rt\triangle ACB $ 中，$ BC = \sqrt{AB^{2} - AC^{2}} $

代入数据：$ BC = \sqrt{2^{2} - (\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{4 - 3} = 1 $

3. 等边三角形判定：$ OB = OC = BC = 1 \Rightarrow \triangle OBC $ 为等边三角形，故 $ \angle COB = 60^{\circ} $

4. 三角形内角和：在 $ \triangle OCD $ 中，$ \angle COD + \angle D + \angle OCD = 180^{\circ} $

代入数据：$ 120^{\circ} + 30^{\circ} + \angle OCD = 180^{\circ} \Rightarrow \angle OCD = 90^{\circ} $

即 $ OC \perp CD $，结合 $ OC $ 为半径，得 $ CD $ 是切线。

(1) ②阴影部分面积公式

1. 扇形面积公式：$ S_{扇形} = \frac{n\pi r^{2}}{360} $（$ n $ 为圆心角，$ r $ 为半径）

代入数据：$ S_{扇形AOC} = \frac{120\cdot\pi\cdot1^{2}}{360} = \frac{\pi}{3} $

2. 三角形面积公式：$ S_{\triangle} = \frac{1}{2} × $ 底 $ × $ 高

代入数据：$ S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2} × \sqrt{3} × \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} $

3. 阴影面积：$ S_{阴影} = S_{扇形AOC} - S_{\triangle AOC} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} $

(2) $ \angle CDO $ 与 $ \angle OAC $ 的数量关系

1. 切线性质：$ \angle OCD = 90^{\circ} \Rightarrow \angle CDO + \angle COD = 90^{\circ} $

2. 等腰三角形性质：$ OA = OC \Rightarrow \angle OAC = \angle OCA $

3. 外角定理：$ \angle COD = \angle OAC + \angle OCA = 2\angle OAC $

4. 联立得：$ \angle CDO + 2\angle OAC = 90^{\circ} $

(1) 求$BD$的长

- 因为$\angle BCA = 90^{\circ}$，所以$AB$是$Rt\triangle ABC$外接圆的直径，圆心为$AB$的中点$O$。

- 已知$AB = 4$，$AB = 2AC$，所以$AC = 2$。在$Rt\triangle ABC$中，

$\cos\angle BAC=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，所以$\angle BAC = 60^{\circ}$。

- 因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC = 30^{\circ}$。

- 又因为同弧所对的圆周角相等，$\angle BCD$与$\angle BAD$所对的弧都是$\overset{\frown}{BD}$，

所以$\angle BCD=\angle BAD = 30^{\circ}$。

- 因为$AB$是直径，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。

- 在$Rt\triangle ABD$中，$\angle BAD = 30^{\circ}$，$AB = 4$，根据$30^{\circ}$所对的直角边是斜边

的一半，可得$BD=\frac{1}{2}AB = 2$。

(2) 求点$I$随点$P$的移动所经过的路径长$l$的取值范围

- 首先，因为$BI$平分$\angle PBC$，$AD$平分$\angle BAC$，可推出点$I$的轨迹是一段弧。

- 当点$P$与点$C$重合时，此时$\angle PBC = 0^{\circ}$，$BI$不存在，不过当点$P$接近点

$C$时，点$I$接近$BD$的中点；当点$P$与点$B$重合时，点$I$与点$B$重合。

- 由(1)知$BD = 2$，且点$I$的轨迹是以$BD$为弦的弧，圆心角为$60^{\circ}$

（因为$\angle BAC = 60^{\circ}$，相关圆周角为$60^{\circ}$）。

- 根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（$n$是圆心角，$r$是半径），这里$n = 60^{\circ}$，$r = 2$，

则弧长$l=\frac{60\pi×2}{180}=\frac{2\pi}{3}$。

- 又因为点$P$不与点$C$、$B$重合，所以点$I$所经过的路径长$l$的取值范围

是$0\lt l\lt\frac{2\pi}{3}$。

【答案】：
(1) 如图所示（作图痕迹为AB、AC的垂直平分线，交点P）；(2) 132°。

【解析】：
(1) 分别作线段AB、AC的垂直平分线，两垂直平分线交于点P，点P即为所求。
(2) ∵点P是△ABC的外心，∴PA=PB=PC，∠BPC=2∠BAC。
∵∠BAC=66°，∴∠BPC=2×66°=132°。

【答案】：
30°

【解析】：

1. 确定多边形边数：正多边形的外角为$40^{\circ}$，因此边数为$n=\frac{360^{\circ}}{40^{\circ}}=9$，即正九边形。

2. 中心角计算：正九边形的中心角为$\frac{360^{\circ}}{9}=40^{\circ}$。

3. $∠AOD$计算：$∠AOD$由三个中心角组成，即$∠AOD=3×40^{\circ}=120^{\circ}$。

4. $∠OAD$计算：$\triangle AOD$为等腰三角形，$∠OAD=∠ODA$，且$∠OAD=\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=30^{\circ}$。

答案：$∠OAD$的度数为$30^{\circ}$。

【答案】：
6

【解析】：
设点$A(-a,0)$，$B(a,0)$，则$AB=2a$，需求$a$的最小值。设$P(x,y)$，因$PA\perp PB$，向量$\overrightarrow{PA}=(-x-a,-y)$，$\overrightarrow{PB}=(a-x,-y)$，由$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=0$得$x^2+y^2=a^2$，故点$P$在以$O$为圆心、$a$为半径的圆上。又$P$在$\odot M$上，$\odot M$圆心$(3,4)$，半径$2$，$OM=5$。两圆有公共点，则$|a-2|\leq5\leq a+2$，解得$a\geq3$。当$a=3$时，两圆外切，$a$最小，$AB=2a=6$。

【答案】：
(1) 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BCA=90°$，$AB=4$，$AC=2$，则$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$。$\angle BAC=60°$，$AD$平分$\angle BAC$，则$\angle BAD=30°$。
$AB$为外接圆直径，$\angle ADB=90°$（直径所对圆周角）。在$Rt\triangle ABD$中，$BD=AB\cdot\sin\angle BAD=4\cdot\sin30°=2$。
(2) 由(1)知$AB=4$，外接圆半径为$2$，圆心$O$为$AB$中点。$CD$为直径（$CD=4$），$BD\perp BC$（直径所对圆周角为直角）。
点$I$为$\angle PBC$平分线与$PD$交点，可证$I$在以$B$为圆心，$2\sqrt{2}$为半径的圆上。轨迹为圆心角$90°$的圆弧。
弧长$l=\frac{90°}{360°}×2\pi×2\sqrt{2}=\sqrt{2}\pi$。
(1) $BD=2$；(2) $l=\sqrt{2}\pi$
答案
(1) $\boxed{2}$
(2) $\boxed{\sqrt{2}\pi}$

【解析】：

(1) 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BCA=90^\circ$，$AB=4$，$AC=2$，则$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，$\angle BAC=60^\circ$。
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=30^\circ$。
$\triangle ABC$外接圆中，$AB$为直径，$\angle ADB=90^\circ$。
在$Rt\triangle ABD$中，$BD=AB\cdot\sin\angle BAD=4×\sin30^\circ=4×\frac{1}{2}=2$。
(2) 点$I$的轨迹是以$BD$为弦，圆心角为$120^\circ$的圆弧（不含端点）。
$BD=2$，设圆心为$O$，则$\triangle OBD$为等边三角形，半径$OB=BD=2$。
弧长$l=\frac{120^\circ}{360^\circ}×2\pi×2=\frac{4\pi}{3}$。
因为点$P$不与$C$、$B$重合，所以$0＜l＜\frac{4\pi}{3}$。
(1)$2$；
(2)$0＜l＜\frac{4\pi}{3}$