$1. 直线上滚动：$ $路径：平行于直线的线段$ $路径长：等于直线段长度，设直线段长为L，路径长=L$ $2. 圆上滚动（圆形纸片半径为r，固定圆半径为R）：$ $外滚动（沿固定圆外侧）：$ $路径：以固定圆圆心为圆心，半径为R+r的圆$ $路径长：2\pi(R+r)$ $内滚动（沿固定圆内侧，R＞r）：$ $路径：以固定圆圆心为圆心，半径为R-r的圆$ $路径长：2\pi(R-r)$ $3. 折线上滚动（折线由线段AB、BC组成，内角为\alpha，圆半径为r）：$ $路径：线段AB对应平行线段 + 圆弧 + 线段BC对应平行线段$ $路径长：AB + BC + \frac{(180°-\alpha)\pi r}{180°}（其中180°-\alpha为圆弧圆心角）$ (1) 设直线$l_1$的函数表达式为$y = kx + b，$将点$(1,2)$和$(-2,-1)$代入可得：$\begin{cases}k + b = 2 \\ -2k + b = -1\end{cases}，$解得$\begin{cases}k = 1 \\ b = 1\end{cases}，$所以直线$l_1$的函数表达式为$y = x + 1。$ (2) 设点$P$的坐标为$(a, a + 1)，$因为$\odot P$的半径为$5，$当$\odot P$与坐标轴只有$3$个不同的公共点时，分两种情况：①圆与$x$轴相切，与$y$轴相交，此时$|a + 1| = 5，$解得$a = 4$或$a = -6，$当$a = 4$时，点$P$到$y$轴的距离为$4，$$4 ＜ 5，$与$y$轴有两个交点，符合题意，坐标为$(4,5)；$当$a = -6$时，点$P$到$y$轴的距离为$6，$$6 ＞ 5，$与$y$轴无交点，不符合题意。②圆与$y$轴相切，与$x$轴相交，此时$|a| = 5，$解得$a = 5$或$a = -5，$当$a = -5$时，点$P$到$x$轴的距离为$|-5 + 1| = 4 ＜ 5，$与$x$轴有两个交点，符合题意，坐标为$(-5,-4)；$当$a = 5$时，点$P$到$x$轴的距离为$6 ＞ 5，$与$x$轴无交点，不符合题意。③圆过原点，此时$a^2 + (a + 1)^2 = 25，$解得$a = 3$或$a = -4，$坐标为$(3,4)$或$(-4,-3)。$综上，点$P$的坐标为$(4,5)，$$(-5,-4)，$$(3,4)，$$(-4,-3)。$ (3) 因为直线$l_1$：$y = x + 1，$直线$l_2$：$y = 2x - 1，$设点$Q$的坐标为$(m, 2m - 1)，$点$P$的坐标为$(n, n + 1)，$因为$PQ = \sqrt{2}，$所以$\sqrt{(m - n)^2 + (2m - 1 - n - 1)^2} = \sqrt{2}，$即$(m - n)^2 + (2m - n - 2)^2 = 2。$又因为以点$Q$为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆与直线$l_1$相切，直线$l_1$：$x - y + 1 = 0，$所以点$Q$到直线$l_1$的距离为$\frac{|m - (2m - 1) + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{| - m + 2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}，$解得$m = 0$或$m = 4。$当$m = 0$时，$Q(0, -1)，$代入$PQ = \sqrt{2}$可得$\sqrt{(0 - n)^2 + (-1 - n - 1)^2} = \sqrt{2}，$解得$n = -1，$此时点$P$的坐标为$(-1,0)；$当$m = 4$时，$Q(4,7)，$代入$PQ = \sqrt{2}$可得$\sqrt{(4 - n)^2 + (7 - n - 1)^2} = \sqrt{2}，$解得$n = 5，$此时点$P$的坐标为$(5,6)。$所以点$P$的坐标为$(-1,0)，$$(5,6)。$
【答案】：
(1)垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；任意角度；重合
(2)特殊位置（或圆心在圆周角的一边上）
(3)扇形
【解析】：
(1)垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；任意角度；重合
(2)特殊位置（或圆心在圆周角的一边上）
(3)扇形
1. 直线上滚动：
路径：平行于直线的线段
路径长：等于直线段长度，设直线段长为$L$，路径长$=L$
2. 圆上滚动（圆形纸片半径为$r$，固定圆半径为$R$）：
外滚动（沿固定圆外侧）：
路径：以固定圆圆心为圆心，半径为$R+r$的圆
路径长：$2\pi(R+r)$
内滚动（沿固定圆内侧，$R＞r$）：
路径：以固定圆圆心为圆心，半径为$R-r$的圆
路径长：$2\pi(R-r)$
3. 折线上滚动（折线由线段$AB$、$BC$组成，内角为$\alpha$，圆半径为$r$）：
路径：线段$AB$对应平行线段 + 圆弧 + 线段$BC$对应平行线段
路径长：$AB + BC + \frac{(180°-\alpha)\pi r}{180°}$（其中$180°-\alpha$为圆弧圆心角）
【答案】：
(1) $y = x + 1$
(2) $(4,5)$，$(-5,-4)$，$(3,4)$，$(-4,-3)$
(3) $(-1,0)$，$(5,6)$
【解析】：
(1) 设直线$l_1$的函数表达式为$y = kx + b$，将点$(1,2)$和$(-2,-1)$代入得：
$\begin{cases} k + b = 2 \\ -2k + b = -1 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = 1 \\ b = 1 \end{cases}$，故$l_1$的表达式为$y = x + 1$。
(2) 设$P(m, m + 1)$，$\odot P$半径为5。
与$x$轴相切：$|m + 1| = 5$，$m = 4$（$m = -6$舍去），得$P(4,5)$；
与$y$轴相切：$|m| = 5$，$m = -5$（$m = 5$舍去），得$P(-5,-4)$；
过原点：$m^2 + (m + 1)^2 = 25$，解得$m = 3$或$m = -4$，得$P(3,4)$或$P(-4,-3)$。
综上，$P$的坐标为$(4,5)$，$(-5,-4)$，$(3,4)$，$(-4,-3)$。
(3) 直线$l_1$：$x - y + 1 = 0$，设$Q(b, 2b - 1)$，$P(a, a + 1)$。
$Q$到$l_1$的距离为$\sqrt{2}$，即$\frac{|2 - b|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，解得$b = 0$或$b = 4$，故$Q(0,-1)$或$Q(4,7)$。
当$Q(0,-1)$时，$\sqrt{(a - 0)^2 + (a + 1 + 1)^2} = \sqrt{2}$，解得$a = -1$，$P(-1,0)$；
当$Q(4,7)$时，$\sqrt{(a - 4)^2 + (a + 1 - 7)^2} = \sqrt{2}$，解得$a = 5$，$P(5,6)$。
综上，$P$的坐标为$(-1,0)$，$(5,6)$。
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