第62页 - 苏科版九年级伴你学数学答案（上下册）

B

40°

4

 (1)证明：连接$OC。$

 因为$AC = CD，$$\angle ACD = 120^{\circ}，$所以$\angle A=\angle D=\frac{180^{\circ}-\angle ACD}{2}=\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=30^{\circ}。$

 因为$OA = OC，$所以$\angle A=\angle ACO = 30^{\circ}。$

 因此$\angle OCD=\angle ACD - \angle ACO=120^{\circ}- 30^{\circ}=90^{\circ}，$即$OC\perp CD。$

 又因为$OC$是$\odot O$的半径，所以$CD$是$\odot O$的切线。

$(2) 因为\angle A = 30^{\circ}，所以\angle COB = 2\angle A=60^{\circ}。在Rt\triangle OCD中，\angle D = 30^{\circ}，OC = 2，则OD = 2OC = 4，CD=\sqrt{OD^{2}-OC^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2\sqrt{3}。 S_{\triangle OCD}=\frac{1}{2}× OC× CD=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}。 S_{扇形OBC}=\frac{60\pi×2^{2}}{360}=\frac{2}{3}\pi。 S_{阴影}=S_{\triangle OCD}-S_{扇形OBC}=2\sqrt{3}-\frac{2}{3}\pi。$

 (1) 证明：连接 $OC，$

 因为 $OA = OC，$所以 $\angle OAC=\angle OCA。$

 又因为 $AC$ 平分 $\angle PAE，$所以 $\angle DAC=\angle OAC，$

 从而 $\angle DAC=\angle OCA，$故 $OC// AD。$

 由于 $CD\perp PA，$则 $\angle ADC = 90^\circ，$

 因此 $\angle OCD=\angle ADC = 90^\circ，$即 $OC\perp CD。$

 又因为 $OC$ 是 $\odot O$ 的半径，所以 $CD$ 为 $\odot O$ 的切线。

 (2) 解：过点 $O$ 作 $OF\perp AB$ 于点 $F，$则 $AF = FB=\frac{1}{2}AB。$

 设 $AD = x，$则 $DC=6 - x。$

 因为 $CD\perp PA，$$OF\perp AB，$$OC\perp CD，$

 所以四边形 $OCDF$ 为矩形，故 $OF = CD=6 - x，$$DF = OC = 5，$

 因此 $AF=DF - AD=5 - x。$

 在 $Rt\triangle AOF$ 中，由勾股定理得：$AF^2+OF^2=OA^2，$

 即 $(5 - x)^2+(6 - x)^2=5^2，$

 整理得 $x^2 - 11x + 18 = 0，$解得 $x_1=2，$$x_2=9$（舍去）。

 则 $AF=5 - 2=3，$所以 $AB=2AF=6。$

【答案】：
C

【解析】：
以AB为边，分三种情况讨论直角三角形：
1. 直角顶点为A：AC⊥AB，根据正六边形网格向量垂直条件，得C点坐标满足$y=-2x$，网格内有$(-1,2)$、$(1,-2)$，共2个。
2. 直角顶点为B：BC⊥BA，同理得C点坐标满足$y=-2x+4$，网格内有$(1,2)$、$(3,-2)$，共2个。
3. 直角顶点为C：AC⊥BC，由勾股定理逆定理$AC²+BC²=AB²$（$AB²=4$），解得$AC²=1,BC²=3$或$AC²=3,BC²=1$，网格内有$(0,1)$、$(1,-1)$、$(1,1)$、$(2,-1)$，共4个。
综上，共有$2+2+4=8$个直角三角形。

【答案】：
B

【解析】：
过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
∵AB=6cm，∴AC=BC=3cm。
∵⊙O直径为10cm，∴OA=5cm。
在Rt△OAC中，OC=√(OA²-AC²)=√(5²-3²)=4cm。
∵小圆与AB相切，∴小圆半径为OC=4cm。

【答案】：
40°

【解析】：
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴点O是△ABC的内心，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB．
∵∠ACB=90°，∴∠OCB=∠ACB/2=45°．
在△BOC中，∠BOC=115°，∠OCB=45°，
∴∠OBC=180°-∠BOC-∠OCB=180°-115°-45°=20°．
∵BO平分∠ABC，∴∠ABC=2∠OBC=2×20°=40°．

【答案】：
4

【解析】：
以BC为对称轴作点A的对称点A'，连接A'D交BC于点P，此时PA+PD最小，最小值为A'D的长。
矩形ABCD中，AB=2，BC=3，∴A'(4,0)，D(0,3)。
由勾股定理得A'D=√[(4-0)²+(0-3)²]=5。
∵E是⊙A上动点，PE最小值为PA-AE=PA-1，
∴PE+PD最小值为(PA+PD)-1=5-1=4。

【答案】：
(1) 证明见上；(2) AB=6。

【解析】：
(1) 证明：连接OC。
∵AC平分∠PAE，∴∠PAC=∠CAE。
∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAE。
∴∠PAC=∠OCA，∴OC//PA。
∵CD⊥PA，∴OC⊥CD。
∵OC是⊙O半径，∴CD为⊙O的切线。
(2) 设AD=x，则DC=6-x。过O作OF⊥AB于F，∴AF=FB。
∵CD是切线，OC⊥CD，CD⊥PA，OF⊥AB，∴四边形OCDF是矩形。
∴OF=CD=6-x，DF=OC=5（⊙O直径为10，半径OC=5）。
∴AF=DF-AD=5-x。
在Rt△OAF中，OA²=AF²+OF²，即5²=(5-x)²+(6-x)²。
展开得：25=25-10x+x²+36-12x+x²，化简得2x²-22x+36=0，即x²-11x+18=0。
解得x=2或x=9（x=9时DC=6-9=-3舍去）。
∴AD=2，AF=5-2=3，∴AB=2AF=6。