第52页 - 苏科版九年级伴你学数学答案（上下册）

$(n - 2) ×\ $

$180° $

$\frac{360°}{n}$

$\frac{(n - 2) × 180°}{n}$

3:4

正方

$2\sqrt{3}$

$9\sqrt{3}$

162

连接OA、OD、OC,可得∠AOC=120°,∠AOD=30°,则∠COD=90°. 由OC=OD,CD=6$\sqrt{2}$,得20C²=(6$\sqrt{2}$)²,从而半径为6cm.

4

正六边形

4:1

 解：设这个正多边形的每个外角为$ x^\circ ，$则每个内角为$ (x + 100)^\circ 。$

$ 因为多边形的一个内角与它相邻的外角互补，所以： $

 $ x + (x + 100) = 180 $

 解得：$ 2x = 80 ，$$ x = 40 。$

 由于正多边形的外角和为$ 360^\circ ，$设边数为$ n ，$则：

 $ n = \frac{360}{x} = \frac{360}{40} = 9 。$

 答：这个正多边形的边数为$ 9 。$

 解：连接 $ OB ，$$ OC ，$过点 $ O $ 作 $ OD \perp BC $ 于点 $ D ，$则 $ OD = r ，$$ OB = OC = R 。$

 因为 $ \triangle ABC $ 是正三角形，所以 $ \angle BOC = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ 。$

 由于 $ OD \perp BC ，$根据等腰三角形三线合一性质，$ \angle BOD = \frac{1}{2} \angle BOC = 60^\circ ，$且 $ BD = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2} 。$

 在 $ \text{Rt}\triangle BOD $ 中：

 $ \sin 60^\circ = \frac{BD}{OB} ，$即 $ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\frac{a}{2}}{R} ，$解得 $ a = \sqrt{3}R ；$

 $ \cos 60^\circ = \frac{OD}{OB} ，$即 $ \frac{1}{2} = \frac{r}{R} ，$解得 $ r = \frac{R}{2} 。$

 周长 $ P = 3a = 3\sqrt{3}R 。$

 正三角形的高 $ h = AO + OD = R + r = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2} ，$

 面积 $ S = \frac{1}{2} \times BC \times h = \frac{1}{2} \times \sqrt{3}R \times \frac{3R}{2} = \frac{3\sqrt{3}R^2}{4} 。$

 综上，$ a = \sqrt{3}R ，$$ P = 3\sqrt{3}R ，$$ S = \frac{3\sqrt{3}R^2}{4} ，$$ r = \frac{R}{2} 。$

1. 在正三角形ABC的每条边上，分别取距离两端顶点均为2的两点，连接这六个点，剪去三个顶点处的小正三角形（边长为2），即可得到正六边形DEG KHF。
2. 正六边形面积计算：
原正三角形ABC面积：$ S_{\triangle ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} × 6^2 = 9\sqrt{3} $
每个小正三角形面积：$ S_{小} = \frac{\sqrt{3}}{4} × 2^2 = \sqrt{3} $
三个小正三角形总面积：$ 3S_{小} = 3\sqrt{3} $
正六边形面积：$ S = 9\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} $
结论：剪去三个边长为2的小正三角形；正六边形面积为$ 6\sqrt{3} $。

【答案】：
内角和的度数是$(n - 2) × 180°$（或 $180°(n-2)$ 等价形式）；
每一个外角的度数是$\frac{360°}{n}$；
每一个内角的度数是$\frac{(n - 2) × 180°}{n}$（或 $180° - \frac{360°}{n}$ 等价形式）。

【解析】：
正$n$边形可以划分成$n-2$个三角形，每个三角形的内角和为$180^\circ$，所以正$n$边形的内角和为$(n - 2) × 180^\circ$。
正$n$边形有$n$个外角，所有外角之和为$360^\circ$，因此每一个外角的度数为$\frac{360^\circ}{n}$。
正$n$边形每一个内角的度数可以通过内角和除以边数$n$得到，即$\frac{(n - 2) × 180^\circ}{n}$，也可以表示为$180^\circ - \frac{360^\circ}{n}$（因为内角和外角互补）。

【答案】：
$3:4$（若用选项形式一般可表示为选项中$3:4$对应的选项，假设本题为填空形式，直接填比例）

【解析】：
正多边形的周长等于边长乘以边数，两个正八边形的边数相同，都为8，所以它们的周长之比等于边长之比。已知两个正八边形的边长分别是3和4，则它们的周长之比为$3:4$。

【答案】：
正方

【解析】：
设正多边形的一个内角为$x$，则其外角为$x$。
因为正多边形的一个内角与它相邻的外角互补，所以$x + x = 180^\circ$，解得$x = 90^\circ$。
设该正多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式：$(n - 2)×180^\circ = n×90^\circ$，
即$180n - 360 = 90n$，
$180n - 90n = 360$，
$90n = 360$，
解得$n = 4$。
故该正多边形是正方形。

【答案】：
半径答案处填$2\sqrt{3}$，面积答案处填$9\sqrt{3}$（按照题目填空顺序，对应两个空依次在答案框填 $2\sqrt{3}$，$9\sqrt{3}$ ）

【解析】：
1. 求外接圆半径：
正三角形的边长为$a = 6cm$，其外接圆半径$R$的公式为$R=\frac{a}{\sqrt{3}}$（正三角形外接圆半径公式，可通过将正三角形分为六个直角三角形，利用$30^{\circ}$所对直角边与斜边关系推导得出），也可根据正三角形外接圆半径$R = \frac{a}{2\sin A}$（$A$为正多边形内角，正三角形内角$A = 60^{\circ}$），$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$R=\frac{6}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}cm$。
2. 求面积：
正三角形面积公式为$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$，把$a = 6cm$代入公式，得$S=\frac{\sqrt{3}}{4}×6^{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}×36 = 9\sqrt{3}cm^{2}$。

【答案】：
162

【解析】：
正方形ABFG的内角为90°，故∠BFG=90°；正五边形BCDEF的内角为(5-2)×180°/5=108°，故∠EFB=108°。由于正方形与正五边形拼接于边BF，点F处∠BFG与∠EFB分别位于BF两侧，因此∠GFE=360°-∠BFG-∠EFB=360°-90°-108°=162°。

【答案】：
4

【解析】：
正$n$边形的每个内角为$120^\circ$，由正多边形内角和公式：
内角 $= \frac{(n-2) × 180^\circ}{n} = 120^\circ$。
解方程：
$\frac{(n-2) × 180}{n} = 120$，
$180n - 360 = 120n$，
$60n = 360$，
$n = 6$。
所以多边形为正六边形，边长为4，正六边形可以分解为6个全等的等边三角形，每个边长为4，因此外接圆的半径等于等边三角形的边长，即4。

【答案】：
4:1

【解析】：

步骤 1: 计算正六边形 $ ABCDEF $ 的面积 $ S_{1} $

正六边形可以分割成 6 个边长为 $ 10cm $ 的等边三角形。

一个等边三角形的面积为 $ \frac{\sqrt{3}}{4} × 10^{2} = 25\sqrt{3}cm^{2} $，

所以 $ S_{1} = 6 × 25\sqrt{3} = 150\sqrt{3}cm^{2} $。

步骤 2: 计算正六边形 $ A'B'C'D'E'F' $ 的面积 $ S_{2} $

同理，它可分割成 6 个边长为 $ 5cm $ 的等边三角形。

一个等边三角形的面积为 $ \frac{\sqrt{3}}{4} × 5^{2} = \frac{25\sqrt{3}}{4}cm^{2} $，

所以 $ S_{2} = 6 × \frac{25\sqrt{3}}{4} = \frac{75\sqrt{3}}{2}cm^{2} $。

步骤 3: 求面积比 $ S_{1}:S_{2} $

$ S_{1}:S_{2} = 150\sqrt{3}:\frac{75\sqrt{3}}{2} = \frac{150\sqrt{3}}{\frac{75\sqrt{3}}{2}} = 4:1 $

综上， $ S_{1}:S_{2} = \boxed{4:1} $。

【答案】：
a=√3 R；P=3√3 R；S=3√3 R²/4；r=R/2。

【解析】：
连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，垂足为D，则OD=r，BD=DC=a/2，OB=OC=R。
在Rt△OBD中，∠OBD=30°（正三角形内角60°，OB平分∠ABC），OB=R。
1. 边长a：
cos30°=BD/OB=(a/2)/R，a/2=R·cos30°=R·(√3/2)，∴a=√3 R。
2. 圆心O到BC距离r：
sin30°=OD/OB=r/R，r=R·sin30°=R·(1/2)，∴r=R/2。
3. 周长P：
P=3a=3·√3 R=3√3 R。
4. 面积S：
S=(√3/4)a²=(√3/4)(√3 R)²=(√3/4)(3R²)=3√3 R²/4。