第50页 - 苏科版九年级伴你学数学答案（上下册）

67.5

14cm

$ \sqrt{3} $

6

正方形

2

 （1）证明：连接OD、CD。

 ∵AC是⊙O直径，

 ∴∠ADC=90°。

 ∵DE是⊙O切线，

 ∴OD⊥DE，∠ODE=90°。

 在Rt△ODE和Rt△OCE中，OD=OC，OE=OE，

 ∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），

 ∴DE=CE。

 ∴∠EDC=∠ECD。

 ∵∠ACB=90°，∠ADC=90°，

 ∴∠B+∠ECD=90°，∠EDC+∠EDB=90°。

 ∴∠EDB=∠B，

 ∴EB=ED。

 ∴EB=EC。

 （2）△ABC是等腰直角三角形。

 理由：

 ∵四边形ODEC是矩形，

 ∴OD=EC。

 ∵OD=OC=$\frac{AC}{2}，$

 ∴EC=$\frac{AC}{2}。$

 由（1）知EB=EC，

 ∴BC=2EC=AC。

 ∵∠ACB=90°，

 ∴△ABC是等腰直角三角形。

【答案】：
9√5 - 9

【解析】：
设圆心为O，切点为A，连接OA、OP。
∵PA是切线，∴OA⊥PA，OA=9cm，PA=18cm。
在Rt△POA中，OP²=OA²+PA²=9²+18²=81+324=405，∴OP=√405=9√5 cm。
点P与圆上各点所连线段中最短的长为OP - OA = 9√5 - 9 cm。

【答案】：67.5°，14cm【解析】：

【答案】：
√3

【解析】：
初始时，⊙O切BC于C，故OC⊥BC，OC=1cm（半径）。滚动后圆心为O'，⊙O'与CA、CB相切，则O'到CA、CB距离均为半径1cm，O'在∠ACB的角平分线上，∠O'CB=30°。在Rt△O'DC中（D为O'在CB上垂足），O'D=1cm，∠O'CD=30°，CD=O'D/tan30°=1/(√3/3)=√3 cm。圆心移动的水平距离即CD=√3 cm。

【答案】：
6

【解析】：
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系。则A(0,0)，B(11,0)，D(0,11)，圆心O与AB、AD相切，半径为5，故O(5,5)。D(0,11)在圆外，DE为切线，OE=5（半径），OE⊥DE。OD=√[(5-0)²+(5-11)²]=√61。在Rt△ODE中，DE²=OD²-OE²=61-25=36，DE=6。

【答案】：
正方形；$2$

【解析】：
由于$\odot O$是$Rt\triangle ABC$的内切圆，所以$OE\bot AC$，$OF\bot BC$。
因为$\angle C = 90^{\circ}$，所以四边形$OECF$的四个角均为$90^{\circ}$，则四边形$OECF$是矩形。
又因为$OE = OF$（同圆的半径相等），所以矩形$OECF$是正方形。
设$\odot O$的半径为$r$。
根据直角三角形内切圆半径公式$r=\dfrac{a + b-c}{2}$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边）。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 5$，$BC = 12$，根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}} = 13$。
把$a = 5$，$b = 12$，$c = 13$代入公式$r=\dfrac{a + b - c}{2}$，可得$r=\dfrac{5 + 12-13}{2}=2$。