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140°
135°
解;∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠ADC=120°，四边形ABCD内接于圆O，
∴∠ADC+∠ABC=180°（圆内接四边形的对角互补），
∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-120°=60°。
在Rt△ABC中，∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-60°=30°。
故∠BAC的度数为$30^\circ。$
$120^{\circ}$
解：连接OB、OD。
∵四边形OABC为平行四边形，OA=OC（半径），
∴OABC为菱形，OA=AB=BC=OC。
∵OA=OB=OC（半径），
∴△OAB、△OBC为等边三角形，
∴∠AOB=∠BOC=60°，∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°。
设∠OAD=α，∠OCD=β。
∵OA=OD=OC（半径），
∴△OAD、△OCD为等腰三角形，
∴∠OAD=∠ODA=α，∠OCD=∠ODC=β，
∴∠AOD=180°-2α，∠COD=180°-2β。
∵点A、B、C、D在⊙O上，∠AOD+∠COD+∠AOC=360°（圆心角和为周角），
∴(180°-2α)+(180°-2β)+120°=360°，
化简得2α+2β=120°，
∴α+β=60°，即∠OAD+∠OCD=60°。
60°
证明：
因为$AE$平分$\angle CAM，$所以$\angle MAE = \angle EAC。$
又因为$\angle MAE$与$\angle ECB$是同弧$\overset{\frown}{EB}$所对的圆周角（圆内接四边形的一个外角等于它的内对角），所以$\angle MAE = \angle ECB。$
而$\angle EAC$与$\angle EBC$是同弧$\overset{\frown}{EC}$所对的圆周角，所以$\angle EAC = \angle EBC。$
由$\angle MAE = \angle EAC，$$\angle MAE = \angle ECB，$$\angle EAC = \angle EBC，$可得$\angle EBC = \angle ECB。$
在$\triangle EBC$中，根据“等角对等边”，因为$\angle EBC = \angle ECB，$所以$BE = CE。$
综上，$BE = CE$得证。
【答案】：
105

【解析】：
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD + ∠BCD = 180°（圆内接四边形的对角互补）。∵∠BAD = 105°，∴∠BCD = 180° - 105° = 75°。∵∠DCE + ∠BCD = 180°（平角定义），∴∠DCE = 180° - 75° = 105°。
【答案】：
140°

【解析】：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD=110°，∴∠BAD=180°-∠BCD=70°。∵∠BOD和∠BAD分别是弧BD所对的圆心角和圆周角，∴∠BOD=2∠BAD=140°。
135°
  • 首先，由图可知，点在轴负半轴，点在轴正半轴，因此。
  • 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，所以弧所对的圆周角。
  • 又因为四边形是圆内接四边形，根据圆内接四边形的对角互补，可得。
  • 因此，。
【答案】：
$120^{\circ}$（按照要求这里应只填角度值对应的规范表达，若题目是填空题形式，这里直接填$120^{\circ}$相关规范答案，由于是直接填结果，所以答案填$120^{\circ}$ （若题目要求度数不带单位，可填120 ） 。 ）

【解析】：
因为四边形$ABCD$内接于$\odot O$，根据圆内接四边形的性质，其对角互补，所以$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$。
已知$\angle A$与$\angle C$的度数之比为$1:2$，设$\angle A = x$，则$\angle C = 2x$，可得$x + 2x = 180^{\circ}$，即$3x = 180^{\circ}$，解得$x = 60^{\circ}$，所以$\angle A = 60^{\circ}$。
根据同弧所对的圆心角是圆周角的$2$倍，$\angle BOD$与$\angle A$分别是同弧$BD$所对的圆心角和圆周角，所以$\angle BOD = 2\angle A = 120^{\circ}$。
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