第34页 - 苏科版九年级伴你学数学答案（上下册）

D

(4,4)

 过点 $ O $ 作 $ OE \perp AB $ 于点 $ E 。$

 因为 $ OE \perp AB ，$由垂径定理得：

 $ AE = BE ，$$ CE = DE 。$

 所以 $ AE - CE = BE - DE ，$即 $ AC = BD 。$

 因为 $ AC = 2 ，$所以 $ BD = 2 。$

 答案：$ 2 $

3 cm

 解：(1) 连接 $OQ，$因为 $AB$ 是直径，所以 $\angle ACB = 90^\circ。$在 $Rt\triangle ABC$ 中，$AB = 6，$$\angle ABC = 30^\circ，$则 $BC = AB \cdot \cos 30^\circ = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}。$由点 $B(3,0)$ 和 $C\left(-\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$ 可得直线 $BC$ 的斜率 $k = -\frac{\sqrt{3}}{3}，$其方程为 $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \sqrt{3}。$

 因为 $PQ // AB，$$AB$ 为 $x$ 轴，所以 $PQ$ 斜率为 $0，$又 $OP \perp PQ，$则 $OP$ 斜率不存在，即点 $P$ 横坐标为 $0。$将 $x = 0$ 代入直线 $BC$ 方程得 $P(0, \sqrt{3})，$故 $OP = \sqrt{0^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3}。$

 在 $Rt\triangle OPQ$ 中，$OQ = 3，$所以 $PQ = \sqrt{OQ^2 - OP^2} = \sqrt{9 - 3} = \sqrt{6}。$

 (2) 因为 $OP \perp PQ，$所以 $PQ = \sqrt{OQ^2 - OP^2} = \sqrt{9 - OP^2}。$要使 $PQ$ 最大，需 $OP$ 最小，$OP$ 的最小值为点 $O$ 到直线 $BC$ 的距离 $d。$直线 $BC$ 的方程可化为 $\sqrt{3}x + 3y - 3\sqrt{3} = 0，$则 $d = \frac{|0 + 0 - 3\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2}。$

 因此，$PQ$ 的最大值为 $\sqrt{9 - \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}。$

 综上，

 (1) $\sqrt{6}；$

 (2) $\frac{3\sqrt{3}}{2}。$

C

【答案】：
D

【解析】：
1. 根据垂直于弦的直径性质，$OD \perp AB$，$D$为垂足，且$AB$是弦，因此$AD = BD$，选项A正确。
2. 由于$OD \perp AB$且$O$为圆心，$OA = OB$（半径相等），因此$\triangle OAB$为等腰三角形，$OD$为对称轴，所以$\angle AOE = \angle BOE$，选项B正确。
3. 由于$\angle AOE = \angle BOE$，根据圆心角相等，对应的弧长相等，即$\overset{\frown}{AE} = \overset{\frown}{BE}$，选项C正确。
4. 对于选项D，$OD$是从圆心到弦的垂线段，$E$是$OD$延长线上的点，$OD$不一定等于$DE$，除非$D$是$OE$的中点，但这并非必然成立，因此选项D错误。

【答案】：
D

【解析】：
设圆的半径为$r$米，过圆心$O$作弦$AB$（水面宽）的垂线，垂足为$C$，则$AC = \frac{0.8}{2} = 0.4$米。由水深$0.2$米，得圆心到水面距离$OC = r - 0.2$。在$Rt\triangle OAC$中，$OA^2 = AC^2 + OC^2$，即$r^2 = 0.4^2 + (r - 0.2)^2$。解得$r = 0.5$，直径为$2r = 1$米。

【答案】：
(4,4)

【解析】：
过点P作PC⊥AB于点C，连接PA。
∵A(2,0)，B(6,0)，∴AB=4，AC=BC=2，OC=OA+AC=4，∴点C坐标为(4,0)。
设P(4,y)，PA=2√5，AC=2，在Rt△PAC中，由勾股定理得：2²+y²=(2√5)²，解得y=±4。
由图知点P在x轴上方，∴y=4，故P(4,4)。

【答案】：
C

【解析】：

1. 作$OE \perp AB$于$E$，交$CD$于$F$，连$OA,OC$。由垂径定理，$AE = \frac{AB}{2} = 3$，$CF = \frac{CD}{2} = 4$。
2. 在$\triangle OAE$中，$OA = 5$，由勾股定理得$OE = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
3. 在$\triangle OCF$中，$OC = 5$，由勾股定理得$OF = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
4. 分两种情况讨论：
当$AB,CD$在圆心同侧时，距离为$|OE - OF| = |4 - 3| = 1$；
当$AB,CD$在圆心两侧时，距离为$OE + OF = 4 + 3 = 7$。
综上，距离为$1$或$7$，选C。

【答案】：
$3 cm$（或填数值3 ）

【解析】：
设圆的半径为 $R$，过点 $P$ 的最长弦为直径，所以 $2R = 10$，即 $R = 5(cm)$。
过点 $P$ 的最短弦是与过点 $P$ 的直径垂直的弦，设该弦为 $AB$，且 $AB = 8(cm)$，由于 $AB$ 是垂直于过 $P$ 的直径的弦，根据垂径定理可得：
$AP = \frac{AB}{2} = 4 (cm)$，
在直角三角形 $AOP$ 中，利用勾股定理，有：
$OP = \sqrt{R^{2} - AP^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3(cm)$。