第8页 - 苏科版九年级伴你学数学答案（上下册）

解：两边同除以3：$x² - 4x + \frac{1}{3} = 0$

移项：$x² - 4x = -\frac{1}{3}$

配方：$x² - 4x + 4 = -\frac{1}{3} + 4，$即$(x - 2)² = \frac{11}{3}$

开平方：$x - 2 = \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$

解得：$x = 2 \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$

$∴x₁=2 + \frac{\sqrt{33}}{3}，$$x₂=2 - \frac{\sqrt{33}}{3}$

解：两边同除以4：$x² - 3x - \frac{1}{4} = 0$

 移项：$x² - 3x = \frac{1}{4}$

 配方：$x² - 3x + \frac{9}{4} = \frac{1}{4} + \frac{9}{4}，$即$(x - \frac{3}{2})² = \frac{5}{2}$

 开平方：$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$

 解得：$x = \frac{3 \pm \sqrt{10}}{2}$

 ∴$x₁=\frac{3 + \sqrt{10}}{2}，$$x₂=\frac{3 - \sqrt{10}}{2}$

解： 两边同乘$-1$：$2x² - x - 1 = 0$

 两边同除以2：$x² - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = 0$

 移项：$x² - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}$

 配方：$x² - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = \frac{1}{2} + \frac{1}{16}，$即$(x - \frac{1}{4})² = \frac{9}{16}$

 开平方：$x - \frac{1}{4} = \pm \frac{3}{4}$

 解得：$x = \frac{1}{4} \pm \frac{3}{4}$

 ∴$x₁=1，$$x₂=-\frac{1}{2}$

解;两边同乘2：$x² - 4x - 2 = 0$

 移项：$x² - 4x = 2$

 配方：$x² - 4x + 4 = 2 + 4，$即$(x - 2)² = 6$

 开平方：$x - 2 = \pm \sqrt{6}$

 解得：$x = 2 \pm \sqrt{6}$

 ∴$x₁=2 + \sqrt{6}，$$x₂=2 - \sqrt{6}$

2或-6

 （1）已知方程$2x^{2}-3x + p = 0，$两边同时除以$2$得$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{p}{2}=0。$

 配方：$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}-\frac{9}{16}+\frac{p}{2}=0，$即$(x - \frac{3}{4})^{2}=\frac{9}{16}-\frac{p}{2}。$

 因为$(x + m)^{2}=\frac{1}{2}，$所以$m=-\frac{3}{4}，$$\frac{9}{16}-\frac{p}{2}=\frac{1}{2}。$

 由$\frac{9}{16}-\frac{p}{2}=\frac{1}{2}，$通分得$\frac{9}{16}-\frac{8}{16}=\frac{p}{2}，$$\frac{p}{2}=\frac{1}{16}，$解得$p=\frac{1}{8}。$

 （2）因为$(x-\frac{3}{4})^{2}=\frac{1}{2}，$

 开平方得$x-\frac{3}{4}=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}。$

 当$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$x=\frac{3 + 2\sqrt{2}}{4}；$

 当$x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$x=\frac{3 - 2\sqrt{2}}{4}。$

 综上，（1）$p = \frac{1}{8}，$$m=-\frac{3}{4}；$（2）方程的解为$x_{1}=\frac{3 + 2\sqrt{2}}{4}，$$x_{2}=\frac{3 - 2\sqrt{2}}{4}。$

 小明的猜想正确。证明如下：

 $\begin{aligned}-2x^{2}+4x - 5&=-2(x^{2}-2x)-5\\&=-2(x^{2}-2x + 1 - 1)-5\\&=-2[(x - 1)^{2}-1]-5\\&=-2(x - 1)^{2}+2 - 5\\&=-2(x - 1)^{2}-3\end{aligned}$

 因为$(x - 1)^{2}\geq0，$所以$-2(x - 1)^{2}\leq0，$则$-2(x - 1)^{2}-3\leq - 3\lt0。$

 结论：无论$x$取何值，代数式$-2x^{2}+4x - 5$的值都小于$0。$

【答案】：
$2$或$-6$（或填 $-6$或$2$）

【解析】：
将方程 $4x^{2}-(m + 2)x + 1 = 0$ 的左边写成完全平方式，即 $ax^2 + bx + c = (px \pm q)^2$ 的形式，其中 $a=4$，所以 $p^2 = 4$，得 $p = \pm2$。
设 $4x^2 - (m + 2)x + 1 = (2x \pm 1)^2$，展开右边得 $4x^2 \pm 4x + 1$。
比较系数，对于 $x$ 的系数，有 $-(m + 2) = \pm 4$。
若 $-(m + 2) = 4$，则 $m = -6$。
若 $-(m + 2) = -4$，则 $m = 2$。
所以 $m$ 的值为 $2$ 或 $-6$。