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$\frac{2}{3}\pi\mathrm{cm}$
$\frac{4}{3}\pi\mathrm{cm}$
$2\pi\mathrm{cm}$
$\frac{8}{3}\pi\mathrm{cm}$
$1.92× 10^{9}$.
$解：(1)连接AC、AD$
$∵AB=BE$
$∴点B为AE的中点$
$∵F 是EC的中点$
$∴BF为△EAC的中位线$
$∴BF=\frac {1}{2}AC$
$∵\widehat{AD}=\widehat{BC}$
$∴\widehat{AD}+\widehat{AB}=\widehat{BC}+\widehat{AB}$
$ ∴\widehat{DAB}=\widehat{CBA}$
$∴BD=AC$
$∴BF=\frac {1}{2}BD$
$(2)过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，连接PG、PF$
$∵BF为△EAC的中位线$
$∴BF//AC$
$∴∠FBE=∠CAE$
$∵\widehat{AD}=\widehat{BC}$
$∴∠CAB=∠DBA$
$∴∠FBE=∠DBA$
$由作法可知，BP⊥AE$
$∴∠GBP=∠FBP$
$∵G 为BD的中点$
$∴BG=\frac {1}{2}BD$
$∴BG=BF$
$∵BP=BP，BG=BF，∠GBP=∠FBP$
$∴△PBG≌△PBF$
$∴PG=PF$

$解：(1)连接AC、AD$
$∵AB=BE$
$∴点B为AE的中点$
$∵F 是EC的中点$
$∴BF为△EAC的中位线$
$∴BF=\frac {1}{2}AC$
$∵\widehat{AD}=\widehat{BC}$
$∴\widehat{AD}+\widehat{AB}=\widehat{BC}+\widehat{AB}$
$ ∴\widehat{DAB}=\widehat{CBA}$
$∴BD=AC$
$∴BF=\frac {1}{2}BD$
$(2)过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，连接PG、PF$
$∵BF为△EAC的中位线$
$∴BF//AC$
$∴∠FBE=∠CAE$
$∵\widehat{AD}=\widehat{BC}$
$∴∠CAB=∠DBA$
$∴∠FBE=∠DBA$
$由作法可知，BP⊥AE$
$∴∠GBP=∠FBP$
$∵G 为BD的中点$
$∴BG=\frac {1}{2}BD$
$∴BG=BF$
$∵BP=BP，BG=BF，∠GBP=∠FBP$
$∴△PBG≌△PBF$
$∴PG=PF$

$解：作AM=CD，连接MB，过O作DH⊥CD，OP⊥EF.$
$∵AB为直径$
$∴∠AMB=90°$
$∵AM=6\ \mathrm {AB}=10 $
$∴BM=EF=8$
$∴弓形CD的面积+弓形EF 的面积=弓形AM的面积+弓形BM的面积$
$∵AB=10\ \mathrm {AM}=6\ \mathrm {BM}=8$
$ ∴弓形AM的面积+弓形BM的面积=\frac {1}{2}π{r}^2-\frac {1}{2}AM \cdot MB=\frac {25}{2}π-24$
$ ∵OH⊥CD ，CD=6$
$∴CH=HD=3$
$ ∵CH=3，OC=5$
$∴OH=4$
$同理可得：OP=3$
$∵△ACD与△OCD同底等高$
$∴S_{△ACD}=S_{△OCD}$
$同理可得S_{△BEF}=S_{△OEF}$
$∴S_{△ACD}=S_{△OCD}=12\ \mathrm {S}_{△BEF}=S_{△OEF}=12$
$所以阴影部分面积=\frac {25}{2}π-24+12+12=\frac {25}{2}π$

$解：作AM=CD，连接MB，过O作DH⊥CD，OP⊥EF.$
$∵AB为直径$
$∴∠AMB=90°$
$∵AM=6\ \mathrm {AB}=10 $
$∴BM=EF=8$
$∴弓形CD的面积+弓形EF 的面积=弓形AM的面积+弓形BM的面积$
$∵AB=10\ \mathrm {AM}=6\ \mathrm {BM}=8$
$ ∴弓形AM的面积+弓形BM的面积=\frac {1}{2}π{r}^2-\frac {1}{2}AM \cdot MB=\frac {25}{2}π-24$
$ ∵OH⊥CD ，CD=6$
$∴CH=HD=3$
$ ∵CH=3，OC=5$
$∴OH=4$
$同理可得：OP=3$
$∵△ACD与△OCD同底等高$
$∴S_{△ACD}=S_{△OCD}$
$同理可得S_{△BEF}=S_{△OEF}$
$∴S_{△ACD}=S_{△OCD}=12\ \mathrm {S}_{△BEF}=S_{△OEF}=12$
$所以阴影部分面积=\frac {25}{2}π-24+12+12=\frac {25}{2}π$
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