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$解：AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切.$
$理由如下：$
$ 过点P作PE⊥AB于E.$
$ ∵AP平分∠BAC，PD⊥AC，PE⊥AB， $
$∴PE=PD $
$∴AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切$

$解：AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切.$
$理由如下：$
$ 过点P作PE⊥AB于E.$
$ ∵AP平分∠BAC，PD⊥AC，PE⊥AB， $
$∴PE=PD $
$∴AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切$

解：如图所示，圆心为∠CBA的角平分线与AC的交点

解：如图所示，圆心为∠CBA的角平分线与AC的交点

$解：DB与DI相等，理由如下：$
$连接BI$
$∵点I是△ABC的内心，$
$∴∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠CBI.$
$∵∠CAI=∠CBD，$
$∴∠BAI+∠ABI=∠CAI+∠CBI=∠CBD+∠CBI=∠DBI.$
$∵∠DIB=∠BAI+∠ABI，$
$∴∠DBI=∠DIB$
$∴DB=DI$

$解：DB与DI相等，理由如下：$
$连接BI$
$∵点I是△ABC的内心，$
$∴∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠CBI.$
$∵∠CAI=∠CBD，$
$∴∠BAI+∠ABI=∠CAI+∠CBI=∠CBD+∠CBI=∠DBI.$
$∵∠DIB=∠BAI+∠ABI，$
$∴∠DBI=∠DIB$
$∴DB=DI$

$解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，$
$∴PA=PB，DA=DC，EC=EB$
$∵PA=10，$
$∴PB=10，$
$∴△PDE的周长=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=20，$
$∴△PDE的周长为20$
$解：连接OA、OB、OC，$
作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F
设它的内切圆的半径为r，则OD=OE=OF=r，
$∵S_{△ABC}=S_{△AOB}+S_{△OBC}+S_{△OAC}，$
$∴\frac {1}{2} \cdot r \cdot AB+\frac {1}{2} \cdot r \cdot BC+\frac {1}{2} \cdot r \cdot AC=24$
$∴\frac {1}{2}r(AB+BC+AC)=24，$
$∴\frac {1}{2}r \cdot 24=24，$
∴r=2
即它的内切圆的半径为2

$解：AD+BC=CD+AB，$
$理由：∵四边形ABCD的边与圆O分别相切于点E、F、G、H，$
$∴DH=DG，CG=CF，BE=BF，AE=AH，$
$∴AH+DH+CF+BF=DG+GC+AE+BE$
$即AD+BC=CD+AB$
$解：连接BO，则BO⊥AB$
$∵AB、CD都是⊙O的切线$
$∴BD=CD$
$∵AD=2BD，CD=2$
$∴BD=2，AD=4$
$∵DC⊥AO，DC=2，AD=4$
$∴CA=2\sqrt{3}$
$∵BO⊥AB，BO=CO$
$∴BO^2+AB^2=AO^2，即BO^2+6^{2}=(BO+2\sqrt{3})^2$
$解得BO=2\sqrt{3}$
$∴⊙O的半径为2\sqrt{3}$

$解：连接BO，则BO⊥AB$
$∵AB、CD都是⊙O的切线$
$∴BD=CD$
$∵AD=2BD，CD=2$
$∴BD=2，AD=4$
$∵DC⊥AO，DC=2，AD=4$
$∴CA=2\sqrt{3}$
$∵BO⊥AB，BO=CO$
$∴BO^2+AB^2=AO^2，即BO^2+6^{2}=(BO+2\sqrt{3})^2$
$解得BO=2\sqrt{3}$
$∴⊙O的半径为2\sqrt{3}$

$解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，$
$∴PA=PB，DA=DC，EC=EB$
$∵PA=10，$
$∴PB=10，$
$∴△PDE的周长=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=20，$
$∴△PDE的周长为20$
$解：AD+BC=CD+AB，$
$理由：∵四边形ABCD的边与圆O分别相切于点E、F、G、H，$
$∴DH=DG，CG=CF，BE=BF，AE=AH，$
$∴AH+DH+CF+BF=DG+GC+AE+BE$
$即AD+BC=CD+AB$
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