第74页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

D

A

13或√119

41

15

 设$CD$的长为$x。$

 因为$AD \perp BC，$所以$\triangle ADC$和$\triangle ADB$均为直角三角形。

 由于$\triangle ABC$是钝角三角形，且$AD$为高，可知$D$在$BC$的延长线上，则$BD = BC + CD = 9 + x。$

 在$Rt\triangle ADC$中，$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 10^2 - x^2 = 100 - x^2。$

 在$Rt\triangle ADB$中，$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 17^2 - (9 + x)^2 = 289 - (81 + 18x + x^2) = 208 - 18x - x^2。$

 因为$AD^2$相等，所以$100 - x^2 = 208 - 18x - x^2，$

 化简得$18x = 108，$解得$x = 6。$

 $CD$的长为$6。$

 它的底端滑动2m，理由如下：

 在$Rt\triangle ABC$中，梯子长度$AB = 10m，$顶端到地面的距离$AC = 8m，$根据勾股定理，底端到墙的距离$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6m。$

 当梯子顶端下滑$2m$后，顶端到地面的距离变为$AC' = 8 - 2 = 6m。$

 在新的$Rt\triangle AB'C'$中，梯子长度不变$AB' = 10m，$此时底端到墙的距离$BC'=\sqrt{AB'^{2}-AC'^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8m。$

 因此，底端滑动的距离为$BB' = BC' - BC = 8 - 6 = 2m。$

 所以，它的底端滑动了$2m。$

（1）由题意得，四边形$ABCD$的面积为 $5\times 5-\frac {1} {2}\times 1\times 5-\frac {1} {2}\times 2\times 4-\frac {1} {2}\times 1\times 2-1\times 1-\frac {1} {2}\times 1\times 4$ $=25-2.5-4-1-1-2$ $=14.5$ （2）$\triangle BCD$是直角三角形，理由如下：连接$BD$ 由勾股定理得，${BC}^{2}={2}^{2}+{4}^{2}=20$，${CD}^{2}={1}^{2}+{2}^{2}=5$，${BD}^{2}={3}^{2}+{4}^{2}=25$ $\because 20+5=25$ $\therefore {BC}^{2}+{CD}^{2}={BD}^{2}$ $\therefore \triangle BCD$是直角三角形

【答案】：
1. (1) b² - a²；(2) 8；3
2. (1) 3；5；(2) 16；30
思考：两个未知边用含同一未知数的代数式表示，可通过勾股定理列方程求解.
3. (1) 3和4可能都是直角边或4为斜边，第三边可能为5或√7；(2) 126或66

【解析】：
1. 数形结合思想的运用.
(1) 在Rt△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得a²+c²=b²，故c²=b²-a².
(2) ∠C=90°，a=6，c=10，b²=c²-a²=10²-6²=64，b=8；∠A=30°，则斜边c=2a，由勾股定理a²+b²=c²，b=3，得a²+3²=(2a)²，解得a²=3.
2. 方程思想的运用.
(1) ∠B=90°，AB=x，BC=4，AC=8-x，由勾股定理x²+4²=(8-x)²，解得x=3，故AB=3，AC=5.
(2) ∠C=90°，a:b=8:15，设a=8k，b=15k，c=34，由勾股定理(8k)²+(15k)²=34²，解得k=2，故a=16，b=30.
思考：两个未知边用含同一未知数的代数式表示，可通过勾股定理列方程求解.
3. 分类讨论思想的运用.
(1) 3和4可能都是直角边（第三边5），或4为斜边、3为直角边（第三边√7），小明未分类讨论.
(2) 高AD在△ABC内部时，BD=16，DC=5，BC=21，面积=21×12/2=126；高AD在外部时，BC=16-5=11，面积=11×12/2=66.

【答案】：
D

【解析】：
对于选项A：
$a=8, b=15, c=17$，
$a^{2} + b^{2} = 8^{2} + 15^{2} = 64 + 225 = 289$，
$c^{2} = 17^{2} = 289$，
因为 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$，所以能组成直角三角形。
对于选项B：
$a=9, b=12, c=15$，
$a^{2} + b^{2} = 9^{2} + 12^{2} = 81 + 144 = 225$，
$c^{2} = 15^{2} = 225$，
因为 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$，所以能组成直角三角形。
对于选项C：
$a=6, b=8, c=10$，
$a^{2} + b^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$，
$c^{2} = 10^{2} = 100$，
因为 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$，所以能组成直角三角形。
对于选项D：
设 $a=2x, b=3x, c=4x$，
$a^{2} + b^{2} = (2x)^{2} + (3x)^{2} = 4x^{2} + 9x^{2} = 13x^{2}$，
$c^{2} = (4x)^{2} = 16x^{2}$，
因为 $a^{2} + b^{2} \neq c^{2}$，所以不能组成直角三角形。

（1）由题意得，四边形$ABCD$的面积为

$5\times 5-\frac {1} {2}\times 1\times 5-\frac {1} {2}\times 2\times 4-\frac {1} {2}\times 1\times 2-1\times 1-\frac {1} {2}\times 1\times 4$

$=25-2.5-4-1-1-2$

$=14.5$

（2）$\triangle BCD$是直角三角形，理由如下：

连接$BD$

由勾股定理得，${BC}^{2}={2}^{2}+{4}^{2}=20$，${CD}^{2}={1}^{2}+{2}^{2}=5$，${BD}^{2}={3}^{2}+{4}^{2}=25$

$\because 20+5=25$

$\therefore {BC}^{2}+{CD}^{2}={BD}^{2}$

$\therefore \triangle BCD$是直角三角形

【答案】：
A

【解析】：
对于选项A：
我们验证 $9^{2} + 16^{2}$ 是否等于 $25^{2}$。
计算得 $9^{2} + 16^{2} = 81 + 256 = 337$，
而 $25^{2} = 625$。
因为 $337 \neq 625$，所以A组不能构成直角三角形。
对于选项B：
我们验证 $(\sqrt{2})^{2} + (\sqrt{2})^{2}$ 是否等于 $2^{2}$。
计算得 $(\sqrt{2})^{2} + (\sqrt{2})^{2} = 2 + 2 = 4$，
而 $2^{2} = 4$。
因为 $4 = 4$，所以B组能构成直角三角形。
对于选项C：
我们验证 $6^{2} + 8^{2}$ 是否等于 $10^{2}$。
计算得 $6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$，
而 $10^{2} = 100$。
因为 $100 = 100$，所以C组能构成直角三角形。
对于选项D：
我们验证 $5^{2} + 12^{2}$ 是否等于 $13^{2}$。
计算得 $5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169$，
而 $13^{2} = 169$。
因为 $169 = 169$，所以D组能构成直角三角形。
综上所述，只有A组不能构成直角三角形。

【答案】：
(1) $13$或$\sqrt{119}$
(2) $41$ ； $15$

【解析】：
(1)
当$12$是斜边时，第三边长是：
$\sqrt{12^{2} - 5^{2}} = \sqrt{144 - 25} = \sqrt{119}$，
当两直角边为$5$和$12$时，斜边为：
$\sqrt{12^{2} + 5^{2}} = \sqrt{144 + 25} = 13$，
综上所述，答案为：$13$或$\sqrt{119}$。
(2)
对于勾股数$9, 40, \underline{\hspace{1em}}$，设第三边为$c$，根据勾股定理有：
$c = \sqrt{9^{2} + 40^{2}} = \sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41$，
对于勾股数$8, \underline{\hspace{1em}}, 17$，设中间数为$b$，根据勾股定理有：
$b = \sqrt{17^{2} - 8^{2}} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$，
综上所述，答案为$41$ ； $15$。

在$Rt\triangle ABC$中，$AB = 10m$，$AC = 8m$，根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6m$。
当梯子顶端下滑$2m$后，$AC' = 8 - 2 = 6m$。
在$Rt\triangle AB'C'$中，$AB' = 10m$，$AC' = 6m$，根据勾股定理$BC'=\sqrt{AB'^{2}-AC'^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8m$。
$BB' = BC' - BC = 8 - 6 = 2m$。
所以它的底端滑动$2m$。