第72页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

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 （1）当△ABC为锐角三角形时，$a^2 + b^2 ＞ c^2。$

 证明：过点$A$作$AD \perp BC$于点$D。$

 设$CD = x，$则$BD = a - x。$

 在$Rt\triangle ADC$中，$AD^2 = b^2 - x^2；$在$Rt\triangle ADB$中，$AD^2 = c^2 - (a - x)^2。$

 所以$b^2 - x^2 = c^2 - (a - x)^2，$展开得$b^2 - x^2 = c^2 - a^2 + 2ax - x^2，$移项可得$a^2 + b^2 - c^2 = 2ax。$

 因为$a ＞ 0，$$x ＞ 0，$所以$2ax ＞ 0，$即$a^2 + b^2 - c^2 ＞ 0，$所以$a^2 + b^2 ＞ c^2。$

 （2）当△ABC为钝角三角形时，$a^2 + b^2 ＜ c^2。$

 证明：过点$A$作$AD \perp BC$交$BC$的延长线于点$D。$

 设$CD = x，$则$BD = a + x。$

 在$Rt\triangle ADC$中，$AD^2 = b^2 - x^2；$在$Rt\triangle ADB$中，$AD^2 = c^2 - (a + x)^2。$

 所以$b^2 - x^2 = c^2 - (a + x)^2，$展开得$b^2 - x^2 = c^2 - a^2 - 2ax - x^2，$移项可得$a^2 + b^2 - c^2 = -2ax。$

 因为$a ＞ 0，$$x ＞ 0，$所以$-2ax ＜ 0，$即$a^2 + b^2 - c^2 ＜ 0，$所以$a^2 + b^2 ＜ c^2。$

 （3）连接$AC。$

 在$Rt\triangle ABC$中，$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 80^2 + 60^2 = 10000，$所以$AC = 100m。$

 在$\triangle ACD$中，$AC = 100m，$$CD = 90m，$$AD = 110m。$

 根据海伦公式，$\triangle ACD$的半周长$p = \frac{100 + 90 + 110}{2} = 150m，$面积$S_{\triangle ACD} = \sqrt{p(p - AC)(p - CD)(p - AD)} = \sqrt{150×(150 - 100)×(150 - 90)×(150 - 110)} = \sqrt{150×50×60×40} = 3000\sqrt{2}m^2。$

 $\triangle ABC$的面积$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}×AB×BC = \frac{1}{2}×80×60 = 2400m^2。$

 四边形$ABCD$的面积$S = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ACD} = 2400 + 3000\sqrt{2}m^2。$

8$\sqrt{10}+12$

1. 首先，在直角三角形中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边）：

已知原直角三角形中$AC = 2$，延长后的直角边$BC'=2×3 = 6$。

对于新形成的直角三角形（如$\triangle ACC'$），由勾股定理求其斜边$AC'$的长度。

设斜边$AC'=x$，根据勾股定理$x=\sqrt{AC^{2}+BC'^{2}}$，这里$AC = 2$，$BC'=6$。

则$x=\sqrt{2^{2}+6^{2}}=\sqrt{4 + 36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。

2. 然后，分析“风车”的周长：

“风车”的周长由$4$条斜边（长度为$2\sqrt{10}$）和$4$条长度为$3$的边组成。

周长$C = 4×2\sqrt{10}+4×3$。

计算可得$C = 8\sqrt{10}+12$。

所以这个“风车”的周长是$8\sqrt{10}+12$。

设单门的宽度$OA = OB=AD = BC = x$寸：

已知$DE = 10$寸，$CD = 2$寸，则$OE=x - 10$寸，$AE=\frac{1}{2}AB$，$AB = 2AE$，$AE=x - 1$（因为$AB=CD + 2AE$，$CD = 2$，所以$AE=\frac{AB - 2}{2}$，又$AB = 2x$，则$AE=x - 1$）。

在$Rt\triangle AOE$中，根据勾股定理$OA^{2}=AE^{2}+OE^{2}$：

由勾股定理$a^{2}=b^{2}+c^{2}$（这里$a = OA$，$b = AE$，$c = OE$），可得$x^{2}=(x - 1)^{2}+10^{2}$。

展开$(x - 1)^{2}$：

根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，$(x - 1)^{2}=x^{2}-2x + 1$，则方程$x^{2}=(x - 1)^{2}+10^{2}$变为$x^{2}=x^{2}-2x + 1+100$。

移项：

$x^{2}-x^{2}+2x=1 + 100$。

合并同类项：

$2x=101$。

解得$x=\frac{101}{2}$。

求门的宽度$AB$：

因为$AB = 2x$，把$x=\frac{101}{2}$代入，得$AB = 101$寸。

所以门的宽度$AB$为$101$寸。