第67页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

C

B

C

 $\triangle ABC$是直角三角形，理由如下：

 因为$AD = 9，$$BD = 1，$所以$AB=AD + BD=9 + 1 = 10。$

 在$Rt\triangle ACD$中，根据勾股定理$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}，$已知$AD = 9，$$CD = 3，$则$AC^{2}=9^{2}+3^{2}=81 + 9 = 90。$

 在$Rt\triangle BCD$中，根据勾股定理$BC^{2}=BD^{2}+CD^{2}，$已知$BD = 1，$$CD = 3，$则$BC^{2}=1^{2}+3^{2}=1 + 9 = 10。$

 因为$AC^{2}+BC^{2}=90 + 10 = 100，$而$AB^{2}=10^{2}=100，$所以$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}。$

 根据勾股定理的逆定理，可知$\triangle ABC$是直角三角形，且$\angle C = 90^{\circ}。$

D

 (1) 取$m=7，$$n=4，$得$a=7^{2}-4^{2}=33，$$b=2\times7\times4=56，$$c=7^{2}+4^{2}=65，$即$(33,56,65)；$取$m=8，$$n=5，$得$a=8^{2}-5^{2}=39，$$b=2\times8\times5=80，$$c=8^{2}+5^{2}=89，$即$(39,80,89)。$

 (2) 一组“商高数”可表示为$(m^{2}-n^{2},2mn,m^{2}+n^{2})，$其中$m，$$n$为正整数且$m＞n。$

 证明：$(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}=m^{4}-2m^{2}n^{2}+n^{4}+4m^{2}n^{2}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}=(m^{2}+n^{2})^{2}，$即$(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}，$故$(m^{2}-n^{2},2mn,m^{2}+n^{2})$是“商高数”。

【答案】：
1. 是勾股数，理由见解析；
2. $24$

【解析】：
1.
已知$3$，$4$，$5$是一组勾股数，因为$3^{2}+4^{2}=9 + 16=25=5^{2}$。
当将这$3$个数分别扩大为原来的$2$倍时，得到$6$，$8$，$10$，此时$6^{2}+8^{2}=36 + 64 = 100=10^{2}$，所以所得的$3$个数还是勾股数。
当扩大为原来的$3$倍时，得到$9$，$12$，$15$，$9^{2}+12^{2}=81+144 = 225=15^{2}$，是勾股数。
当扩大为原来的$4$倍时，得到$12$，$16$，$20$，$12^{2}+16^{2}=144 + 256=400=20^{2}$，是勾股数。
当扩大为原来的$k$倍（$k$为正整数）时，得到$3k$，$4k$，$5k$，$(3k)^{2}+(4k)^{2}=9k^{2}+16k^{2}=25k^{2}=(5k)^{2}$，所以所得的$3$个数还是勾股数。
发现：勾股数扩大为原来的正整数倍后所得的$3$个数仍然是勾股数。
2.
在$Rt\triangle ADC$中，$AD = 4$，$CD = 3$，根据勾股定理$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16 + 9}=5$。
在$\triangle ABC$中，$AC = 5$，$BC = 12$，$AB = 13$，因为$5^{2}+12^{2}=25 + 144=169=13^{2}$，即$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，所以$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle ACB = 90^{\circ}$。
四边形$ABCD$的面积$S = S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ADC}$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×5×12 = 30$，$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×4×3 = 6$。
所以$S = 30-6=24$。

【答案】：
(1) C
(2) B
(3) C

【解析】：
(1) 对于选项A，$3^2 + 4^2 = 5^2$，满足勾股定理，故是直角三角形；
对于选项B，$6^2 + 8^2 = 10^2$，满足勾股定理，故是直角三角形；
对于选项C，$4^2 + 5^2 \neq 6^2$，不满足勾股定理，故不是直角三角形；
对于选项D，$5^2 + 12^2 = 13^2$，满足勾股定理，故是直角三角形。
所以不能作为直角三角形的三边长的是C选项。
(2) 已知三角形的三边长分别是6, 8, 10，根据勾股定理，$6^2 + 8^2 = 10^2$，所以这是一个直角三角形。
设最长边上的高为h，根据直角三角形的面积公式，$\frac{1}{2} × 6 × 8 = \frac{1}{2} × 10 × h$，解得$h = 4.8$。
(3) 在$\bigtriangleup ABC$中，已知$AB = 13$，$AC = 15$，边BC上的高$AD = 12$。
分两种情况考虑：
当$\bigtriangleup ABC$是锐角三角形时，利用勾股定理，$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = 5$，$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = 9$，所以$BC = BD + CD = 14$。
当$\bigtriangleup ABC$是钝角三角形时，利用勾股定理，$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = 5$，$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = 9$，但此时$BC = CD - BD = 4$。

【答案】：
D

【解析】：
对于每一种情况，分别验证三边是否满足勾股定理的逆定理，即验证 $a^2 + b^2 = c^2$ 是否成立。
① 对于 $a=5, b=12, c=13$，有 $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，满足条件，所以能构成直角三角形。
② 对于 $a=8, b=15, c=17$，有 $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$，满足条件，所以能构成直角三角形。
③ 对于 $a:b:c=3:4:5$，设 $a=3x, b=4x, c=5x$，则 $(3x)^2 + (4x)^2 = 9x^2 + 16x^2 = 25x^2 = (5x)^2$，满足条件，所以能构成直角三角形。
④ 对于 $a=15, b=20, c=25$，有 $15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$，满足条件，所以能构成直角三角形。
综上，四种情况都能构成直角三角形。