第65页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

49

D

解：

1. 大正方形$ABCD$的面积：

其边长为长方形长与宽之和$a + b$，因此面积

$S_{ABCD}=(a + b)^2$，展开可得$S_{ABCD}=a^{2}+2ab + b^{2}$。

2. 小正方形$MNPQ$的面积：

其边长为长方形长与宽之差$a - b$，

所以面积$S_{MNPQ}=(a - b)^2$，

展开得$S_{MNPQ}=a^{2}-2ab + b^{2}$。

3. 正方形$EFGH$的面积：

因为$S_{ABCD}=S_{MNPQ}+4×\frac{1}{2}ab$（$4$个长方形面积的一

半），又$S_{EFGH}=c^{2}$，

且$S_{ABCD}=S_{MNPQ}+4×\frac{1}{2}ab=$

$a^{2}-2ab + b^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}$，

而$S_{ABCD}=S_{EFGH}+4×\frac{1}{2}ab$（从另一种分割角度看，

$ABCD$由$EFGH$和$4$个长方形的一半组成），

所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。

综上，$a^{2}+b^{2}=c^{2}$得证。

解：由题意可知，大正方形的面积为13，即$c^2 = 13。$根据勾股定理，直角三角形的两直角边$a$、$b$满足$a^2 + b^2 = c^2 = 13。$

 大正方形由4个全等直角三角形和1个小正方形构成，小正方形的面积为2，所以4个直角三角形的面积之和为大正方形面积减去小正方形面积，即$13 - 2 = 11。$

 因为每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab，$所以4个直角三角形的面积之和为$4\times\frac{1}{2}ab = 2ab，$则$2ab = 11，$即$ab=\frac{11}{2}。$

 又因为$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，$将$a^2 + b^2 = 13$和$2ab = 11$代入可得：$(a + b)^2=13 + 11=24。$

 故$(a + b)^2$的值为24。

【答案】：
(1) 13
(2) 8

【解析】：
(1)在直角三角形中，两条直角边的长度分别为5和12，根据勾股定理：
$c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$。
(2)在直角三角形中，一条直角边长为6，斜边长为10，根据勾股定理：
$b = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$。

【答案】：
49

【解析】：
根据勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
设正方形A, B, C, D的边长分别为a, b, c, d。
图中最大正方形的边长为7 cm，其面积为$7^2 = 49 cm^2$。
观察图形可知，正方形A、B、C、D的边长分别是四个直角三角形的直角边，最大正方形的边长是四个直角三角形的斜边。
根据勾股定理，有：
$ a^2 + b^2 = e^2 $，
$ c^2 + d^2 = f^2 $，
其中e和f分别是两个直角三角形的斜边，且$e^2 + f^2 = 7^2 = 49$。
因此，正方形A, B, C, D的面积之和为：
$ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = e^2 + f^2 = 49 cm^2 $。

【答案】：
D

【解析】：
由图形可知，四边形ABCD为直角梯形，其面积可表示为$\frac{1}{2}(AD + BC) \cdot AB$。同时，该梯形可分割为$\triangle ADE$、$\triangle CDE$和$\triangle BEC$三个三角形。由于$Rt\triangle ADE \cong Rt\triangle BEC$，设$AD = BE = a$，$AE = BC = b$，$DE = CE = c$，则梯形面积$S_{四边形ABCD} = S_{\triangle EDA} + S_{\triangle CDE} + S_{\triangle CEB}$，此面积关系是证明勾股定理的关键。

【答案】：
24

【解析】：
由题意知，大正方形面积为13，其边长为直角三角形斜边$c$，则$c^2 = 13$。根据勾股定理，直角三角形两直角边$a,b$满足$a^2 + b^2 = c^2 = 13$。
中间小正方形面积为2，其边长为直角三角形两直角边之差$|a - b|$，则$(a - b)^2 = 2$。展开得$a^2 - 2ab + b^2 = 2$。
将$a^2 + b^2 = 13$代入上式，得$13 - 2ab = 2$，解得$2ab = 11$。
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) + 2ab = 13 + 11 = 24$。