【答案】：
1. $a^2 + 2ab + b^2$；$a^2 + b^2$；$a^2 + b^2 = c^2$
2. 证明过程如上。
3. 证明过程如上。
【解析】：
1. 设直角三角形的两条直角边分别为$a$和$b$，斜边为$c$。
第一种方法：大正方形的边长为$a+b$，所以面积$S_{正方形ABCD} = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
第二种方法：大正方形由四个直角三角形和一个小的正方形组成，四个直角三角形的面积总和为$2ab$，小的正方形边长为$c$，面积为$c^2$，所以大正方形的面积也可以表示为$a^2 + b^2 + 2ab - 2ab + c^2 = c^2 + 2ab - 2ab = a^2 + b^2$（这里$2ab - 2ab$是为了展示面积构成，实际计算中可直接得$a^2 + b^2$）。但考虑到四个三角形的面积和为$2ab$，故另一种方法求得的面积为$c^2$（加上四个三角形面积后减去多算的$2ab$），即大正方形面积也等于$a^2 + b^2$（通过等面积法得出）。
所以得到等式：$a^2 + b^2 = c^2$。
2. 对于图3-7的证明：
大正方形面积可以表示为$(a+b)^2$，也可以表示为四个直角三角形的面积（每个为$\frac{1}{2}ab$，共$2ab$）加上中间小正方形的面积$c^2$。
因此，$(a+b)^2 = 4 × \frac{1}{2}ab + c^2$。
展开并化简得：$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$。
两边减去$2ab$，得：$a^2 + b^2 = c^2$。
3. 对于图3-8的证明（赵爽弦图）：
整个图形是一个大正方形，边长为$c$，面积为$c^2$。
它由四个全等的直角三角形（直角边分别为$a$和$b$）和一个小正方形组成。
四个直角三角形的总面积为$4 × \frac{1}{2}ab = 2ab$。
小正方形的边长为$b-a$（或$a-b$，取决于$a$和$b$的大小），面积为$(b-a)^2$。
因此，大正方形的面积也可以表示为$2ab + (b-a)^2$。
展开并化简得：$c^2 = 2ab + b^2 - 2ab + a^2 = a^2 + b^2$。
