第56页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

A

$-7, 0.32, \frac{1}{3}, 0, \sqrt[3]{216}$

$\sqrt{8}, -\frac{\pi}{2}$

$-1$

$1+\sqrt{2}，$$1-\sqrt{2}$

（答案不唯一）

B

$\pm(\sqrt{7} - \sqrt{3})$

$2 - \sqrt{5}$

首先，将$\frac{1}{\sqrt{2}}$转化为有理化的形式：

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 × \sqrt{2}}{\sqrt{2} × \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

由于 $\sqrt{5} ＞ \sqrt{2}，$且$\sqrt{2} ＞ \frac{\sqrt{2}}{2}，$

所以 $\sqrt{5} ＞ \frac{1}{\sqrt{2}}。$

用计算器验证：

$\sqrt{5} \approx 2.236$

$\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$

所以 $\sqrt{5} ＞ \frac{1}{\sqrt{2}}。$

首先，求两数的6次方：

$(\sqrt[3]{7})^{6} = 7^{2} = 49$

$(\sqrt{7})^{6} = 7^{3} = 343$

由于 $49 ＜ 343，$

所以 $\sqrt[3]{7} ＜ \sqrt{7}。$

用计算器验证：

$\sqrt[3]{7} \approx 1.913$

$\sqrt{7} \approx 2.646$

所以 $\sqrt[3]{7} ＜ \sqrt{7}。$

 首先，计算$\sqrt{0.16}$的值：

 $\sqrt{0.16} = 0.4$

 再计算$\frac{1}{\sqrt{0.16}}$的值：

 $\frac{1}{\sqrt{0.16}} = \frac{1}{0.4} = 2.5$

 由于 $0.4 ＜ 2.5，$

 所以 $\sqrt{0.16} ＜ \frac{1}{\sqrt{0.16}}。$

 用计算器验证：

 $\sqrt{0.16} = 0.4$

 $\frac{1}{\sqrt{0.16}} = 2.5$

 所以 $\sqrt{0.16} ＜ \frac{1}{\sqrt{0.16}}。$

 解：首先计算平方根：$\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2，$接着计算绝对值：$|\sqrt{2}-1| = \sqrt{2}-1$（因为$\sqrt{2}＞1$），最后进行加减运算：$\sqrt{(-2)^2}+|\sqrt{2}-1|-(\sqrt{2}-1) = 2 + (\sqrt{2}-1) - (\sqrt{2}-1) = 2$

 解：首先计算绝对值：$|\sqrt{5}-\sqrt{2}| = \sqrt{5}-\sqrt{2}$（因为$\sqrt{5}＞\sqrt{2}$），接着计算零指数幂：$(\sqrt{2}-2)^0 = 1，$最后进行加减运算：$|\sqrt{5}-\sqrt{2}|-(3+\sqrt{5})+(\sqrt{2}-2)^0 = (\sqrt{5}-\sqrt{2}) - (3+\sqrt{5}) + 1 = -\sqrt{2} - 2$

 1. 计算原图面积：将图形分割为边长为2的正方形和边长为1的正方形，面积为$2^2 + 1^2 = 5，$故目标正方形的边长为$\sqrt{5}。$

 2. 剪切方法：连接原图左下角顶点与右侧竖边中点（坐标为(2,1)），沿此线段剪开，得到一个直角三角形（直角边分别为1和2，斜边为$\sqrt{5}$）和一个四边形。

 3. 拼接方法：将直角三角形绕斜边端点旋转180°，与四边形拼接，使斜边重合，各边对应，即可形成边长为$\sqrt{5}$的正方形。

1.
因为$|a| = \sqrt{3}$，所以$a = \pm\sqrt{3}$。
当$a = \sqrt{3}$，$b = \sqrt{2}$时，$a + b=\sqrt{3}+\sqrt{2}$；
当$a = -\sqrt{3}$，$b = \sqrt{2}$时，$a + b=-\sqrt{3}+\sqrt{2}$。
2.
因为被开方数越大，其算术平方根越大，$3\lt7$，所以$\sqrt{3}\lt\sqrt{7}$；
因为$\sqrt{7}\approx2.65$，$1.5=\frac{3}{2}$，$\vert-\sqrt{7}\vert=\sqrt{7}\approx2.65$，$\vert - 1.5\vert = 1.5$，$2.65\gt1.5$，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以$-\sqrt{7}\lt - 1.5$。
3.
因为$4\lt5\lt9$，所以$\sqrt{4}\lt\sqrt{5}\lt\sqrt{9}$，即$2\lt\sqrt{5}\lt3$，那么$2 - 1\lt\sqrt{5}-1\lt3 - 1$，$1\lt\sqrt{5}-1\lt2$，所以$\frac{1}{2}\lt\frac{\sqrt{5}-1}{2}\lt1$，故$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\gt\frac{1}{2}$。
4.
按键顺序：先按$\sqrt{}$键，再按$3$，然后按$-$键，接着按$\sqrt{}$键，再按$2$，最后按$=$键。结果约为$0.318$。

【答案】：
A。

【解析】：
选项A：根据相反数的定义，一个数与它的相反数相加结果为0。所以，$\sqrt{2} - \sqrt{3}$的相反数应为$-(\sqrt{2} - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - \sqrt{2}$，故A选项正确。
选项B：一个数的绝对值是该数与0的距离。由于$\sqrt{3} ＞ \sqrt{2}$，所以$\sqrt{2} - \sqrt{3} ＜ 0$，其绝对值应为$-\left(\sqrt{2} - \sqrt{3}\right) = \sqrt{3} - \sqrt{2}$，与B选项给出的$\sqrt{2} - \sqrt{3}$不符，故B选项错误。
选项C：根据平方根的定义，$\sqrt{81} = 9$，并不大于9，故C选项错误。
选项D：一个数的倒数是1除以该数。所以，2的倒数为$\frac{1}{2}$，与D选项给出的$-\frac{1}{2}$不符，故D选项错误。

【答案】：
(1) 有理数集合：${-7, 0.32, \frac{1}{3}, 0, \sqrt[3]{216}}$；无理数集合：${\sqrt{8}, -\frac{\pi}{2}}$。
(2) $-1$
(3) $1+\sqrt{2}$，$1-\sqrt{2}$（答案不唯一）

【解析】：
(1) 有理数是可以表示为两个整数的比的数，而无理数则不能表示为两个整数的比。
有理数集合：根据有理数的定义，$-7$ 是整数，因此是有理数；$0.32$ 是有限小数，因此也是有理数；$\frac{1}{3}$ 是两个整数的比，所以也是有理数；$0$ 是整数，因此也是有理数；$\sqrt[3]{216}$ 是 6，是整数，因此也是有理数。所以有理数集合为：${-7, 0.32, \frac{1}{3}, 0, \sqrt[3]{216}}$。
无理数集合：$\sqrt{8}$ 不能表示为两个整数的比，因此是无理数；$-\frac{\pi}{2}$，其中 $\pi$ 是一个无理数，所以 $-\frac{\pi}{2}$ 也是无理数。所以无理数集合为：${\sqrt{8}, -\frac{\pi}{2}}$。
(2) 由于 $\sqrt{y-1}$ 和 $(x+2)^2$ 都是非负数，且它们的和为 0，那么这两个数都必须为 0。
从 $\sqrt{y-1} = 0$ 可得 $y-1=0$，解得 $y=1$。
从 $(x+2)^2 = 0$ 可得 $x+2=0$，解得 $x=-2$。
所以 $x+y = -2+1 = -1$。
(3) 已知 $a$ 和 $b$ 都是无理数，且 $a+b=2$。
可以选择 $a = 1+\sqrt{2}$（无理数），那么 $b = 2 - a = 2 - (1+\sqrt{2}) = 1-\sqrt{2}$（也是无理数）。
所以一对符合要求的无理数 $a$ 和 $b$ 是 $1+\sqrt{2}$ 和 $1-\sqrt{2}$。

【答案】：
B

【解析】：
1. 首先，我们已知$0 ＜ a ＜ 1$。
2. 对于$a^2$，由于$0 ＜ a ＜ 1$，那么$a^2$会比$a$更小，即$a^2 ＜ a$。
3. 对于$\sqrt{a}$，由于$0 ＜ a ＜ 1$，开方后仍然保持在这个范围内，即$a ＜ \sqrt{a} ＜ 1$。
4. 对于$\frac{1}{a}$，由于$0 ＜ a ＜ 1$，当$a$趋近于0时，$\frac{1}{a}$会趋近于无穷大，因此$\frac{1}{a} ＞ 1$。
5. 综合以上分析，我们可以得出：$a^2 ＜ a ＜ \sqrt{a} ＜ 1 ＜ \frac{1}{a}$。

【答案】：
$\pm(\sqrt{7} - \sqrt{3})$

【解析】：
设这个实数为$x$，根据绝对值的定义，有：
$|x| = \sqrt{7} - \sqrt{3}$
这意味着$x$可以是$\sqrt{7} - \sqrt{3}$或$-(\sqrt{7} - \sqrt{3})$。
即：
$x = \sqrt{7} - \sqrt{3} \quad 或 \quad x = -(\sqrt{7} - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - \sqrt{7}$

【答案】：
$2 - \sqrt{5}$

【解析】：
点$C$和点$B$关于点$A$对称，$C$、$A$两点对应的实数分别是$\sqrt{5}$和$1$。
设点$B$对应的实数为$x$。
根据对称性质，点$A$到点$B$的距离等于点$A$到点$C$的距离，
即$|1 - x| = |\sqrt{5} - 1|$。
由于$x$在点$A$左侧，
所以$1 - x = \sqrt{5} - 1$，
解得$x = 2 - \sqrt{5}$。