第50页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

按照《数学实验手册》“实验16 画‘螺旋图’——构造长度为无理数的线段”中的实验过程1和2，先准备好直尺、圆规和坐标纸，在坐标纸上确定原点O，以O为起点，沿水平方向向右画一条长度为1的线段OA₁，即OA₁=1；然后过点A₁作OA₁的垂线，在垂线上截取A₁A₂=1，连接OA₂，根据勾股定理可得OA₂=$\sqrt{(OA₁²+A₁A₂²)}$=$\sqrt{(1²+1²)}$=$\sqrt2$；接着过点A₂作OA₂的垂线，在垂线上截取A₂A₃=1，连接OA₃，OA₃=$\sqrt{(OA₂²+A₂A₃²)}$=$\sqrt{((\sqrt2)²+1²)}=\sqrt3$；以此类推，完成后续的实验步骤，构造出长度为无理数的线段。（具体做法需结合手册详细步骤，此处为通用操作描述）

$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},\cdots$是正无理数；特点是它们都是按照“螺旋图”构造方法得到的线段长度，且随着序号增大，其值不断增大，都是无限不循环小数。

半径为$1$的圆的面积$S = \pi×1^{2}=\pi；$周长$C = 2\pi×1 = 2\pi。$

无理数，也称为无限不循环小数。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

 因为$1^2 = 1，$$2^2 = 4，$所以$1 ＜ \sqrt{3} ＜ 2；$$1.7^2 = 2.89，$$1.8^2 = 3.24，$所以$1.7 ＜ \sqrt{3} ＜ 1.8；$$1.73^2 = 2.9929，$$1.74^2 = 3.0276，$所以$1.73 ＜ \sqrt{3} ＜ 1.74；$$1.732^2 = 2.999824，$$1.733^2 = 3.003289，$所以$\sqrt{3} \approx 1.732$（保留三位小数）。

$2^2 = 4$，$3^2 = 9$，$\sqrt{3}$中$3 ＜ 4$，则$\sqrt{3} ＜ 2$；$\sqrt{6}$中$4 ＜ 6 ＜ 9$，则$2 ＜ \sqrt{6} ＜ 3$；

$\sqrt{11}$中$11 ＞ 9$，则$\sqrt{11} ＞ 3$，故答案为$\sqrt{6}$。

$\pi$是无理数，$1$是有理数，无理数与有理数的和是无理数，所以$\pi + 1$是无理数；$\sqrt{3}$是无理数，$2$是有理数，有理数与无理数的积是无理数，所以$2\sqrt{3}$是无理数。

1. 因为$1^2 = 1$，$2^2 = 4$，所以$1 ＜ \sqrt{3} ＜ 2$；$1.7^2 = 2.89$，$1.8^2 = 3.24$，所以$1.7 ＜ \sqrt{3} ＜ 1.8$；$1.73^2 = 2.9929$，$1.74^2 = 3.0276$，所以$1.73 ＜ \sqrt{3} ＜ 1.74$；$1.732^2 = 2.999824$，$1.733^2 = 3.003289$，所以$\sqrt{3} \approx 1.732$（保留三位小数）。
2. $2^2 = 4$，$3^2 = 9$，$\sqrt{3}$中$3 ＜ 4$，则$\sqrt{3} ＜ 2$；$\sqrt{6}$中$4 ＜ 6 ＜ 9$，则$2 ＜ \sqrt{6} ＜ 3$；$\sqrt{11}$中$11 ＞ 9$，则$\sqrt{11} ＞ 3$，故答案为$\sqrt{6}$。
3. $\pi$是无理数，$1$是有理数，无理数与有理数的和是无理数，所以$\pi + 1$是无理数；$\sqrt{3}$是无理数，$2$是有理数，有理数与无理数的积是无理数，所以$2\sqrt{3}$是无理数。