【答案】：
1.
设面积为$2$的正方形的边长为$x$，根据正方形面积公式$S = x^2$（$S$为面积，$x$为边长），则$x^2=2$，因为边长$x\gt0$，所以$x = \sqrt{2}$。
设面积为$a$（$a\gt0$）的正方形的边长为$y$，由$y^2=a$且$y\gt0$，可得$y=\sqrt{a}$。
2. 课本第62页表格填空需根据课本具体内容完成（因未提供课本具体表格内容，此处无法给出具体答案）。
3.
算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2 = a$，那么这个数$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$，规定$0$的算术平方根是$0$。
算术平方根的性质：$\sqrt{a}\geq0$（$a\geq0$）；$(\sqrt{a})^2=a$（$a\geq0$）；$\sqrt{a^2}=\vert a\vert=\begin{cases}a(a\geq0)\\ -a(a\lt0)\end{cases}$。
4.
先计算$(-16)^2 = 256$。
再求$\sqrt{(-16)^2}=\sqrt{256}$。
因为$16^2 = 256$，所以$\sqrt{256}=16$。
综上，答案依次为：1. $\sqrt{2}$，$\sqrt{a}$；3. 定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2 = a$，那么这个数$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$，规定$0$的算术平方根是$0$；性质：$\sqrt{a}\geq0$（$a\geq0$）；$(\sqrt{a})^2=a$（$a\geq0$）；$\sqrt{a^2}=\vert a\vert=\begin{cases}a(a\geq0)\\ -a(a\lt0)\end{cases}$；4. $16$。
【解析】：
1. 面积为2的正方形的边长为$\sqrt{2}$；面积为$a$的正方形的边长为$\sqrt{a}$（$a\geq0$）
2. （因未提供课本第62页表格内容，无法完成填空）
3. 算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2 = a$，则这个非负数$x$叫做$a$的算术平方根，记作$\sqrt{a}$，读作“根号$a$”，$0$的算术平方根是$0$；算术平方根的性质：正数的算术平方根是正数，$0$的算术平方根是$0$，负数没有算术平方根
4. $\sqrt{(-16)^2}=\sqrt{256}=16$，方法是先计算$(-16)^2=256$，再求256的算术平方根
