第31页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

证明：因为$D$是$AB$中点，所以$AD = BD$。因为$DE\perp AC$，$DF\perp BC$，在$Rt\triangle ADE$和$Rt\triangle BDF$中，$\left\{\begin{array}{l}AD = BD,\\DE = DF.\end{array}\right.$ 根据$HL$定理，可得$Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle BDF$，所以$AE = BF$。设$AE = BF = x$，$CE = y$，$CF = z$。在$Rt\triangle CDE$和$Rt\triangle CDF$中，$\left\{\begin{array}{l}DE = DF,\\CD = CD.\end{array}\right.$ 根据$HL$定理，可得$Rt\triangle CDE\cong Rt\triangle CDF$，所以$CE = CF$，即$y = z$。那么$AC=x + y$，$BC=x + z$，因为$y = z$，所以$AC = BC$。所以$\triangle ABC$是等腰三角形。

D

△ACE

△AGE

(1)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。

∵CE//AB，∴∠E=∠BAD，∴∠E=∠CAD，

∴AC=EC，∴△ACE是等腰三角形。

(2)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。

∵EF//AD，∴∠AGE=∠BAD，∠E=∠CAD，

∴∠AGE=∠E，∴AG=AE，∴△AGE是等腰三角形。

(3)选择(1)证明：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD。∵CE//AB，∴∠E=∠BAD，

∴∠E=∠CAD，∴AC=EC，∴△ACE是等腰三角形。

【答案】：
(1)D；(2)C

【解析】：
(1)在$\triangle ABC$中，因为$\angle B=\angle C$，根据等腰三角形的性质“等角对等边”，可知$AC = AB$，已知$AB = 5$，所以$AC = 5$。
(2)因为$AB = AC$，$\angle B = 36^{\circ}$，所以$\angle C = 36^{\circ}$，$\angle BAC=180^{\circ}-36^{\circ}-36^{\circ}=108^{\circ}$。
又因为$\angle BAD=\angle DAE=\angle EAC$，所以$\angle BAD=\angle DAE=\angle EAC = 36^{\circ}$。
则$\angle ADB=180^{\circ}-36^{\circ}-36^{\circ}=108^{\circ}$，$\angle AED = 180^{\circ}-36^{\circ}-36^{\circ}=72^{\circ}$，$\angle CDE=180^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ}$，$\angle DEC = 72^{\circ}$。
所以$\triangle ABC$、$\triangle ABD$、$\triangle ADE$、$\triangle AEC$、$\triangle ABE$、$\triangle ACD$都是等腰三角形，共$6$个。

【答案】：
(1)△ACE；(2)△AGE

【解析】：
(1)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。∵CE//AB，∴∠E=∠BAD，∴∠E=∠CAD，∴AC=EC，∴△ACE是等腰三角形。
(2)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。∵EF//AD，∴∠AGE=∠BAD，∠E=∠CAD，∴∠AGE=∠E，∴AG=AE，∴△AGE是等腰三角形。
(3)选择(1)证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。∵CE//AB，∴∠E=∠BAD，∴∠E=∠CAD，∴AC=EC，∴△ACE是等腰三角形。

【答案】：
D

【解析】：
1. 如图所示，设点A的坐标为(0, 0)，点B的坐标为(2, 2)。
2. 根据等腰三角形的性质，点C应满足$AC = BC$或$AC = AB$或$BC = AB$。
3. 通过观察网格，找出所有可能的格点C，使得$\triangle ABC$为等腰三角形。
4. 分别计算：
$AB = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。
满足$AC = AB$的点C有：(0, 4), (4, 0)。
满足$BC = AB$的点C有：(4, 4), (0, 2)（舍去，与B在同一竖直线上），(2, 0)（舍去，与B在同一水平线上），(2, 4), (4, 2)。
满足$AC = BC$的点C有：(1, 3), (3, 1)。
5. 综合上述，符合条件的点C共有8个。