第109页 - 苏科版九年级伴你学数学答案（上下册）

(1) 因为$AB$为$\odot O$直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$。在$Rt\triangle ABC$中，$AB = 10cm$，$BC = 6cm$，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8cm$。连接$BD$，因为$AB$是直径，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$。 $D$、$E$分别是$\angle ACB$的平分线与$\odot O$、$AB$的交点，所以$\angle ACD=\angle BCD = 45^{\circ}$，根据同弧所对的圆周角相等可得$\angle DAB=\angle BCD = 45^{\circ}$。在$Rt\triangle ABD$中，$\angle DAB = 45^{\circ}$，$\angle ABD = 45^{\circ}$，则$AD = BD$。由勾股定理$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}$，即$10^{2}=2AD^{2}$，解得$AD = 5\sqrt{2}cm$。 (2) 连接$OC$。因为$OC = OA$，所以$\angle OAC=\angle OCA$。由(1)知$\angle CAD = 45^{\circ}$，所以$\angle OAC=\angle OCA = 45^{\circ}-\angle CAE$（设$\angle CAE$为$\alpha$），则$\angle COP = 2\angle CAE$（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）。在$\triangle ACE$和$\triangle PCE$中，$PC = PE$，所以$\angle PEC=\angle PCE$。又因为$\angle PEC=\angle CAE+\angle ACE=\angle CAE + 45^{\circ}$，$\angle PCE=\angle PCO+\angle OCA$。 $\angle OCA=\angle OAC$，$\angle PCO=\angle PEC-\angle OCA=\angle CAE + 45^{\circ}-\angle OCA$。 $\angle OCP=\angle PCO+\angle OCA=\angle CAE + 45^{\circ}$。 $\angle OAC+\angle CAE+\angle ACO = 90^{\circ}$，$\angle OCA=\angle OAC$，所以$\angle OCP = 90^{\circ}$，即$OC\perp PC$。因为$OC$是$\odot O$的半径，所以直线$PC$与$\odot O$相切。综上，(1)$AC = 8cm$，$AD = 5\sqrt{2}cm$；(2)直线$PC$与$\odot O$相切。

$(1)$ 证明 $OD\perp DE$

解(证明)：

连接 $BD$，

因为 $AB$ 是$\odot O$的直径，所以$\angle ADB = \angle BDC=90^{\circ}$。

在$Rt\triangle BDC$中，$E$为$BC$的中点，根据直角三角形斜边中线定理：

直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，所以$DE = BE = CE$，

则$\angle EDB=\angle EBD$。

又因为$OD = OB$，所以$\angle ODB=\angle OBD$。

那么$\angle ODE=\angle ODB+\angle EDB=\angle OBD+\angle EBD=\angle ABC$。

已知$\angle ABC = 90^{\circ}$，所以$\angle ODE = 90^{\circ}$，即$OD\perp DE$。

$(2)$ 求阴影部分的面积

解：

已知$AB = 12$，则$OA=OD=\frac{1}{2}AB = 6$。

因为$\angle BAC = 30^{\circ}$，$\angle AOD$与$\angle BAC$所对的弧都是$\overset{\frown}{AD}$，根据圆周角定理：

一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，

所以$\angle AOD = 2\angle BAC=60^{\circ}$。

过点$D$作$DF\perp AB$于点$F$，在$Rt\triangle ODF$中，$\sin\angle AOD=\frac{DF}{OD}$，

则$DF = OD\sin60^{\circ}=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$；$\cos\angle AOD=\frac{OF}{OD}$，

则$OF = OD\cos60^{\circ}=6×\frac{1}{2}=3$。

${S}_{\triangle AOD}=\frac{1}{2}× OA× DF=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$。

扇形$AOD$的面积${S}_{扇形AOD}=\frac{n\pi{r}^{2}}{360}$（$n$是圆心角度数，$r$是半径），

这里$n = 60^{\circ}$，$r = 6$，所以${S}_{扇形AOD}=\frac{60\pi×6^{2}}{360}=12\pi$。

阴影部分面积$S = {S}_{扇形AOD}-{S}_{\triangle AOD}=12\pi - 9\sqrt{3}$。

综上，$(1)$ 证明如上；$(2)$ 阴影部分面积为$\boldsymbol{12\pi - 9\sqrt{3}}$。

设拱桥所在圆的圆心为O，半径为R m。连接OA、OD，OD交AB于点D。
因为CD为拱高，所以OD垂直于AB，AD = AB/2 = 6 m。
设OD = x m，则OC = R m，CD = 4 m，所以OD = OC - CD = R - 4，即x = R - 4。
在Rt△AOD中，OA² = AD² + OD²，即R² = 6² + (R - 4)²。
展开得R² = 36 + R² - 8R + 16，化简得8R = 52，解得R = 6.5。
答：拱桥所在圆的半径为6.5 m。

【答案】：
(1) 见证明；(2) $12π$。

【解析】：
(1) 证明：
∵AB为⊙O直径，∴O为AB中点，OA=OD，∠ADB=90°（直径所对圆周角为直角）。
∴∠OAD=∠ODA。设∠OAD=α，则∠ODA=α。
∵∠ABC=90°，∴∠ACB=90°-α。
∵E为BC中点，∠BDC=90°（∠ADB=90°），∴DE=BE=CE（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
∴∠EBD=∠EDB。
∵∠ABD=90°-α（△ABD中∠ADB=90°），∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=α，即∠EBD=α，∴∠EDB=α。
∵A、D、C共线，∴∠ODC=180°-∠ODA=180°-α。
∠EDC=∠ACB=90°-α（DE=CE）。
∴∠ODE=∠ODC-∠EDC=(180°-α)-(90°-α)=90°。
∴OD⊥DE。
(2) 解：
∵∠BAC=30°，AB=12，∴⊙O半径OA=OD=6。
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=30°，∠AOD=180°-30°-30°=120°。
阴影部分为扇形OAD，面积S= $\frac{120}{360}π×6^2=12π$。

(1)
因为$AB$为$\odot O$直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$AB = 10cm$，$BC = 6cm$，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8cm$。
连接$BD$，因为$AB$是直径，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$。
$D$、$E$分别是$\angle ACB$的平分线与$\odot O$、$AB$的交点，所以$\angle ACD=\angle BCD = 45^{\circ}$，根据同弧所对的圆周角相等可得$\angle DAB=\angle BCD = 45^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle DAB = 45^{\circ}$，$\angle ABD = 45^{\circ}$，则$AD = BD$。
由勾股定理$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}$，即$10^{2}=2AD^{2}$，解得$AD = 5\sqrt{2}cm$。
(2)
连接$OC$。
因为$OC = OA$，所以$\angle OAC=\angle OCA$。
由(1)知$\angle CAD = 45^{\circ}$，所以$\angle OAC=\angle OCA = 45^{\circ}-\angle CAE$（设$\angle CAE$为$\alpha$），则$\angle COP = 2\angle CAE$（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）。
在$\triangle ACE$和$\triangle PCE$中，$PC = PE$，所以$\angle PEC=\angle PCE$。
又因为$\angle PEC=\angle CAE+\angle ACE=\angle CAE + 45^{\circ}$，$\angle PCE=\angle PCO+\angle OCA$。
$\angle OCA=\angle OAC$，$\angle PCO=\angle PEC-\angle OCA=\angle CAE + 45^{\circ}-\angle OCA$。
$\angle OCP=\angle PCO+\angle OCA=\angle CAE + 45^{\circ}$。
$\angle OAC+\angle CAE+\angle ACO = 90^{\circ}$，$\angle OCA=\angle OAC$，所以$\angle OCP = 90^{\circ}$，即$OC\perp PC$。
因为$OC$是$\odot O$的半径，所以直线$PC$与$\odot O$相切。
综上，(1)$AC = 8cm$，$AD = 5\sqrt{2}cm$；(2)直线$PC$与$\odot O$相切。