（1）$\triangle ABC$是等腰三角形。理由如下：
将$x=-1$代入方程$(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)= 0，$得：
$(a + c)(-1)^2 + 2b(-1) + (a - c) = 0，$
化简得：$a + c - 2b + a - c = 0，$即$2a - 2b = 0，$解得$a = b。$
故$\triangle ABC$是等腰三角形。
（2）$\triangle ABC$是直角三角形。理由如下：
方程有两个相等实数根，
$\Delta = (2b)^2 - 4(a + c)(a - c) = 4b^2 - 4(a^2 - c^2) = 4(b^2 + c^2 - a^2)，$
令$\Delta = 0，$得$b^2 + c^2 - a^2 = 0，$即$a^2 = b^2 + c^2。$
故$\triangle ABC$是直角三角形。
（3）方程的根为$x_1 = 0，$$x_2 = -1。$理由如下：
$\triangle ABC$是等边三角形，则$a = b = c。$
原方程化为$(a + a)x^2 + 2ax + (a - a) = 0，$即$2ax^2 + 2ax = 0。$
提取公因式$2ax，$得$2ax(x + 1) = 0。$
$\because a \neq 0，$$\therefore x = 0$或$x = -1。$
故方程的根为$x_1 = 0，$$x_2 = -1。$
