第101页 - 苏科版九年级伴你学数学答案（上下册）

 （1）设矩形羊圈垂直于墙的一边长为$x$m，则平行于墙的一边长为$(12 - 2x)$m。根据题意，得$x(12 - 2x) = 16，$整理得$x^{2} - 6x + 8 = 0，$解得$x_{1} = 2，$$x_{2} = 4。$当$x = 2$时，$12 - 2x = 8；$当$x = 4$时，$12 - 2x = 4。$因此，可行的方案有两种：方案一：垂直于墙的两边长为$2$m，平行于墙的一边长为$8$m；方案二：垂直于墙的两边长为$4$m，平行于墙的一边长为$4$m。

 （2）不可能。理由如下：假设能砌成面积为$20m^{2}$的矩形羊圈，则根据题意，得$x(12 - 2x) = 20，$整理得$x^{2} - 6x + 10 = 0。$计算判别式$ b²-4ac(-6)^{2} - 4\times1\times10 = -4 ＜ 0，因此该方程无实数解。所以，不能砌成面积为20m^{2}$的矩形羊圈。

 设经过$ t $秒，$\triangle AMN$的面积等于矩形$ABCD$面积的$\frac{1}{9}。$

 矩形$ABCD$的面积为$AB \times BC = 3 \times 6 = 18 \, cm^2，$则$\triangle AMN$的面积需为$18 \times \frac{1}{9} = 2 \, cm^2。$

 由题意可知，动点$M$的速度为$1 \, cm/s，$则$AM = t \, cm；$动点$N$的速度为$2 \, cm/s，$则$DN = 2t \, cm，$因为$AD = BC = 6 \, cm，$所以$AN = AD - DN = 6 - 2t \, cm。$

 由于$\angle A = 90^\circ，$所以$\triangle AMN$为直角三角形，其面积公式为$\frac{1}{2} \times AM \times AN。$根据题意可列方程：

 $\frac{1}{2} \times t \times (6 - 2t) = 2$

 化简方程：

 $\frac{t(6 - 2t)}{2} = 2 \implies t(6 - 2t) = 4 \implies 6t - 2t^2 = 4 \implies t^2 - 3t + 2 = 0$

 解方程$t^2 - 3t + 2 = 0，$可得$(t - 1)(t - 2) = 0，$解得$t = 1$或$t = 2。$

 检验：当$t = 1$时，$AM = 1 \, cm，$$AN = 6 - 2 \times 1 = 4 \, cm，$均未超过矩形边长；当$t = 2$时，$AM = 2 \, cm，$$AN = 6 - 2 \times 2 = 2 \, cm，$也均未超过矩形边长，所以$t = 1$和$t = 2$均符合题意。

 答：经过$1$秒或$2$秒。

答题卡（17题）：
(1)
解：由方程 $(x - 1)^{2} = 3$，
开方得：
$x - 1 = \pm \sqrt{3}$
解得：
$x_{1} = 1 + \sqrt{3}$
$x_{2} = 1 - \sqrt{3}$
(2)
解：由方程 $x^{2} - 3x + 1 = 0$，
使用公式法，其中 $a = 1, b = -3, c = 1$，
判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = 9 - 4 = 5$，
所以：
$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$
解得：
$x_{1} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$
$x_{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$
(3)
解：由方程 $2x^{2} = x$，
移项得：
$2x^{2} - x = 0$
提取公因式x得：
$x(2x - 1) = 0$
解得：
$x_{1} = 0$
$x_{2} = \frac{1}{2}$
(4)
解：由方程 $6x^{2} - x - 12 = 0$，
移项并除以6得：
$x^{2} - \frac{1}{6}x = 2$
配方得：
$x^{2} - \frac{1}{6}x + \left(\frac{1}{12}\right)^{2} = 2 + \left(\frac{1}{12}\right)^{2}$
即：
$\left(x - \frac{1}{12}\right)^{2} = \frac{289}{144}$
开方得：
$x - \frac{1}{12} = \pm \frac{17}{12}$
解得：
$x_{1} = \frac{3}{2}$
$x_{2} = -\frac{4}{3}$

设经过$ t $秒，$\triangle AMN$的面积等于矩形$ABCD$面积的$\frac{1}{9}$。
矩形$ABCD$面积：$AB × BC = 3 × 6 = 18 \, cm^2$，则$\triangle AMN$面积需为$18 × \frac{1}{9} = 2 \, cm^2$。
由题意：
动点$M$的速度为$1 \, cm/s$，则$AM = t \, cm$；
动点$N$的速度为$2 \, cm/s$，则$DN = 2t \, cm$，$AN = AD - DN = 6 - 2t \, cm$（$AD = BC = 6 \, cm$）。
$\triangle AMN$为直角三角形（$\angle A = 90°$），面积公式：$\frac{1}{2} × AM × AN = 2$。
代入得：$\frac{1}{2} × t × (6 - 2t) = 2$。
化简方程：$\frac{t(6 - 2t)}{2} = 2 \implies t(6 - 2t) = 4 \implies 6t - 2t^2 = 4 \implies t^2 - 3t + 2 = 0$。
解得：$t = 1$或$t = 2$。
检验：$t = 1$和$t = 2$均满足$0 \leq t \leq 3$（$M$、$N$未到达终点）。
答：经过$1$秒或$2$秒。