第58页 - 苏科版九年级伴你学数学答案（上下册）

 解：（1）设圆锥母线长为$l，$底面半径为$r。$

 ∵侧面展开图是半圆，

 ∴侧面展开图弧长为$\pi l。$

又

 ∵圆锥底面周长为$2\pi r，$且侧面展开图弧长等于底面周长，

 ∴$\pi l = 2\pi r，$即$l = 2r。$

 ∴母线长与底面半径的比值为$2。$

 （2）

 ∵圆锥高$h = 3\sqrt{3}，$由勾股定理得$l^2 = r^2 + h^2。$

 又$l = 2r，$

 ∴$(2r)^2 = r^2 + (3\sqrt{3})^2，$

 即$4r^2 = r^2 + 27，$解得$r^2 = 9，$$r = 3$（$r＞0$），则$l = 6。$

 侧面积$S_{侧} = \frac{1}{2}\pi l^2 = \frac{1}{2}\pi×6^2 = 18\pi，$

 底面积$S_{底} = \pi r^2 = 9\pi，$

 全面积$S_{全} = S_{侧} + S_{底} = 18\pi + 9\pi = 27\pi。$

$ 10\sqrt{2} $

 解：

圆锥的底面半径 $ r = 1 $，母线长 $ l = 6 $。圆锥底面周长: $C = 2\pi r = 2\pi × 1 = 2\pi$。设圆锥侧面展开图的扇形角度为 $ \theta $，则: $l × \theta = C \implies 6 × \theta = 2\pi \implies \theta = \frac{\pi}{3}$。在展开的扇形中，蚂蚁爬行的最短路线即为扇形的弦长。弦长公式为: $L = 2l \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = 2 × 6 × \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 12 × \frac{1}{2} = 6$。它爬行的最短路线的长度为$6$。

1

$1. 首先求AB的长：$

$因为\angle BAC = 90^{\circ}，BC是圆的直径，BC=\sqrt{2}\mathrm{m}。$

$根据勾股定理AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}，又因为AB = AC（同圆中，$

$90^{\circ}圆周角所对的弧相等，弦相等）。$

$所以2AB^{2}=BC^{2}，将BC = \sqrt{2}代入可得2AB^{2}=(\sqrt{2})^{2}，$

$即2AB^{2}=2，解得AB = 1\mathrm{m}。$

$2. 然后求圆锥底面圆半径：$

$解：设所得圆锥的底面圆半径为r。$

$扇形ABC的弧长l=\frac{n\pi R}{180}（n = 90，R = AB = 1），则弧长$

$=\frac{90\pi×1}{180}=\frac{\pi}{2}。$

$因为圆锥底面圆的周长C = 2\pi r，且圆锥底面圆的周长等于扇形的$

$弧长，即2\pi r=\frac{\pi}{2}。$

$两边同时除以\pi得2r=\frac{1}{2}，解得r=\frac{1}{4}\mathrm{m}。$

$综上，（1）AB的长为1\mathrm{m}；（2）所得圆锥的底面圆半径$

$为\frac{1}{4}\mathrm{m}。$

 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3。

 1. 求斜边AB：由勾股定理，$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25，$得$AB = 5。$

 2. 求斜边上的高CD：由面积公式，$\frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times AB \times CD，$即$\frac{1}{2} \times 3 \times 4 = \frac{1}{2} \times 5 \times CD，$解得$CD = \frac{12}{5}$（即底面半径$r = \frac{12}{5}$）。

 3. 旋转后几何体为两个同底圆锥的组合体，母线长分别为AC=3和BC=4。

 4. 圆锥侧面积公式$S = \pi rl，$两圆锥侧面积之和为表面积：

 $S = \pi \times r \times AC + \pi \times r \times BC = \pi \times \frac{12}{5} \times 3 + \pi \times \frac{12}{5} \times 4 = \frac{36\pi}{5} + \frac{48\pi}{5} = \frac{84\pi}{5}。$

 所得几何体的表面积为$\frac{84\pi}{5}。$

【答案】：
D

【解析】：
设圆锥的底面半径为 $r$，母线长为 $l$，圆锥侧面展开图所对应的扇形圆心角为 $n{^\circ}$。
圆锥的底面积为$\pi r^{2}$，圆锥的侧面积为$\pi rl$（其中$r$为底面半径，$l$为母线长）。
根据题意，圆锥的侧面积恰好等于其底面积的$2$倍，即：
$\pi rl = 2\pi r^{2}$，
由于$r \neq 0$（圆锥的底面半径不可能为$0$），可以两边同时除以$\pi r$，得到：
$l = 2r$，
圆锥侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长，即：
$2\pi r = \frac{n\pi l}{180}$，
将$l = 2r$代入上式，得到：
$2\pi r = \frac{n\pi \cdot 2r}{180}$，
同样由于$r \neq 0$，可以两边同时除以$2\pi r$并乘以$180$，得到：
$n = 180$。

【答案】：
$10\sqrt{2}$

【解析】：
本题可先根据圆锥底面直径求出底面周长，再结合扇形弧长公式求出扇形半径，最后根据圆锥的母线长、底面半径与高构成直角三角形，利用勾股定理求出圆锥的高。
步骤一：求圆锥底面周长$C$。
已知圆锥底面直径为$10cm$，根据圆的周长公式$C = \pi d$（其中$d$为圆的直径），可得圆锥底面周长$C = 10\pi cm$。
步骤二：求扇形半径$R$（即圆锥母线长）。
因为该扇形铁皮围成圆锥形工件的侧面，所以扇形的弧长等于圆锥底面周长，即$l = 10\pi cm$。
已知扇形圆心角$n = 120^{\circ}$，根据扇形弧长公式$l=\frac{n\pi R}{180}$（其中$R$为扇形半径），可得$10\pi=\frac{120\pi R}{180}$，
等式两边同时除以$\pi$得$10=\frac{120R}{180}$，
等式两边同时乘以$180$得$120R = 10×180$，
即$120R = 1800$，
解得$R = 15cm$，所以圆锥母线长为$15cm$。
步骤三：求圆锥的高$h$。
已知圆锥底面直径为$10cm$，则底面半径$r = 5cm$，圆锥的母线长$R = 15cm$。
由于圆锥的母线长、底面半径与高构成直角三角形，其中母线为斜边，根据勾股定理$h = \sqrt{R^{2}-r^{2}}$，可得：
$h = \sqrt{15^{2}-5^{2}}=\sqrt{225 - 25}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}cm$。

【答案】：
(1)1；(2)1/4 m

【解析】：
(1)圆形铁皮直径为√2 m，半径为√2/2 m。扇形ABC中∠BAC=90°，要使扇形最大，A、B、C在圆上，∠BAC=90°，则BC为圆的直径（90°圆周角所对弦为直径），故BC=√2 m。在Rt△ABC中，AB=AC，由勾股定理AB²+AC²=BC²，即2AB²=(√2)²=2，解得AB=1 m。
(2)扇形半径AB=1 m，圆心角90°，弧长l=90·π·1/180=π/2 m。圆锥底面圆周长=弧长，即2πr=π/2，解得r=1/4 m。