第54页 - 苏科版九年级伴你学数学答案（上下册）

正六边形

或正十二

边形等

是

不是

$\frac{3\sqrt{2}}{2}$cm

B

A

C

$\sqrt{2}:1$

$(1) 设\odot O的半径为R。$

$正六边形AEFCGH的边长等于外接圆半径，$

$故其边长a_6=R。$

$正方形ABCD的对角线为外接圆直径2R，$

$设边长为a_4，由勾股定理得a_4^2+a_4^2=(2R)^2，$

$解得a_4=\sqrt{2}R。$

$则正方形与正六边形边长之比为\sqrt{2}R:R=\sqrt{2}:1。$

$(2) 连接OA,OB,OE。$

$正六边形中心角为\frac{360°}{6}=60°，故\angle AOE=60°。$

$正方形中心角为\frac{360°}{4}=90°，故\angle AOB=90°。$

$\angle BOE=\angle AOB-\angle AOE=90°-60°=30°。$

$\because\frac{360°}{30°}=12，\therefore BE是\odot O内接正十二边形的一边，$

$n=12。$

(2)连接$OD$，$OC$。 $\because\overset{\frown}{ED}=\frac{1}{8}$圆周， $\therefore\angle EOD = 360^{\circ}×\frac{1}{8}=45^{\circ}$， $\therefore\angle EAD = 45^{\circ}×\frac{1}{2}=22.5^{\circ}$。 $\because\overset{\frown}{EDC}=3\overset{\frown}{ED}$， $\therefore\angle EBC = 3\angle EAD = 67.5^{\circ}$。

【答案】：
B

【解析】：
①正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形，故①正确；②菱形各边相等，但不是正多边形，故②错误；③矩形各角相等，但不是正多边形，故③错误；④圆的内接多边形各边相等时，各边所对的弧相等，从而各角也相等，所以是正多边形，故④正确；⑤菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，但不是正多边形，故⑤错误。综上，正确的说法有①④，共2个。

【答案】：
正六边形（或正三角形）

【解析】：
正多边形绕中心旋转重合的最小角度为$\frac{360^{\circ}}{n}$（$n$为边数，$n\geq3$且为整数）。已知旋转$60^{\circ}$重合，则$\frac{360^{\circ}}{n}$为$60^{\circ}$的约数，即$n=\frac{360^{\circ}}{k\cdot60^{\circ}}=\frac{6}{k}$（$k$为正整数）。当$k=1$时，$n=6$；当$k=2$时，$n=3$；当$k=3$时，$n=2$（舍去）。故可能是正三角形或正六边形。

【答案】：
是，是，不是

【解析】：
根据正多边形的定义，正多边形是各边相等，各角也相等的多边形。
正方形四边相等，四个角均为$90^\circ$，满足正多边形的定义，所以正方形是正多边形。
正三角形三条边相等，三个角均为$60^\circ$，满足正多边形的定义，所以正三角形是正多边形。
菱形虽然四边相等，但其角不一定相等，不满足正多边形各角也相等的条件，所以菱形不是正多边形。

【答案】：
$\frac{3\sqrt{2}}{2}cm$（或写为$\frac{3}{2}\sqrt{2}cm$，根据题目要求填半径最小值对应的答案形式，若为填空题则直接填数值）由于这里是填空（根据问题描述），直接给数值形式：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$（若需要简化成小数等，根据题目具体要求，这里保持根式）

【解析】：
要使圆形纸片完全盖住边长为$3cm$的正方形，则圆形为正方形的外接圆，其直径应等于正方形的对角线长度。
由勾股定理，正方形的对角线长为：
$\sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} (cm)$
因此，圆形纸片的最小半径为对角线的一半：
$\frac{3\sqrt{2}}{2} cm$

【答案】：
B

【解析】：
设正六边形的边长为 $ x $。由于剪去的三个小等边三角形全等，其边长也为 $ x $。原等边三角形边长为12，每条边上被剪去两个小三角形的边和中间正六边形的边，即 $ x + x + x = 12 $，解得 $ x = 4 $。

【答案】：
A

【解析】：
设正方形和正六边形的周长为$l$。
正方形的边长为$\frac{l}{4}$，其面积$S_1 = \left( \frac{l}{4} \right)^2 = \frac{l^2}{16}$。
正六边形边长为$\frac{l}{6}$，可分割为6个等边三角形，每个三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{l}{6} \right)^2$，总面积$S_2 = 6 × \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{l}{6} \right)^2 = \frac{\sqrt{3} l^2}{24}$。
比较$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{l^2}{16}}{\frac{\sqrt{3} l^2}{24}} = \frac{24}{16\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} ＜ 1$，故$S_1 ＜ S_2$。

C

【答案】：
(1) 作图痕迹：以EF为直径，过圆心O作EF的垂直平分线，交圆于两点，再分别过EF上距O点等距的两点作EF的垂线，交圆于A、D和B、C，顺次连接A、B、C、D（保留作图痕迹）。
(2) ∠EAD=22.5°，∠EBC=67.5°。

【解析】：

(1) 作图痕迹如图所示（此处需实际作图，以EF为直径作圆，作EF的垂直平分线交圆于A、C两点，连接A、B、C、D得正方形ABCD，其中AD、BC垂直于EF）。
(2) 连接OA、OB。
因为四边形ABCD是⊙O的内接正方形，所以∠AOB=90°，OA=OB。
又因为EF是直径，AD⊥EF，所以∠AOE=45°。
在△AOE中，OA=OE，所以∠OAE=∠OEA=(180°-45°)/2=67.5°。
因为AD⊥EF，所以∠OAD=45°，则∠EAD=∠OAE - ∠OAD=67.5° - 45°=22.5°。
同理，∠EBC=22.5°。
∠EAD=22.5°，∠EBC=22.5°