第23页 - 苏科版九年级伴你学数学答案（上下册）

$ 一元二次方程的主要解法、举例及选用方法如下： $

 1. 直接开平方法：适用于形如$(x+a)^2 = b(b\geq0)$的方程。例：解方程$(x - 2)^2=9，$开平方得$x - 2=\pm3，$解得$x_1 = 5，$$x_2=-1。$

 2. 配方法：步骤为化二次项系数为1→移项→配方（加一次项系数一半的平方）→化为直接开平方形式。例：解方程$x^2 + 6x + 5 = 0，$移项得$x^2+6x=-5，$配方得$x^2 + 6x+9 = 4，$即$(x + 3)^2=4，$开平方得$x + 3=\pm2，$解得$x_1=-1，$$x_2=-5。$

 3. 公式法：适用于所有一元二次方程，先化为$ax^2+bx + c = 0(a\neq0)，$计算$b^2-4ac，$若b²-4ac$\geq0，$则$x=\frac{-b\pm\sqrt{b²-4ac}}{2a}。$例：解方程$2x^2-3x - 2 = 0，$其中$a = 2，$$b=-3，$$c=-2，b²-4ac$$=(-3)^2-4\times2\times(-2)=9 + 16=25，$$x=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2\times2}=\frac{3\pm5}{4}，$解得$x_1 = 2，$$x_2=-\frac{1}{2}。$

 4. 因式分解法：适用于左边能分解为两个一次因式乘积，右边为0的方程，即$(x + m)(x + n)=0，$则$x=-m$或$x=-n。$例：解方程$x^2-5x + 6 = 0，$分解因式得$(x - 2)(x - 3)=0，$解得$x_1=2，$$x_2 = 3。$

 选用方法：优先考虑直接开平方法（形如$(x + a)^2=b(b\geq0)$）或因式分解法（左边可因式分解）；若不行，用公式法（通用）或配方法（二次项系数为1且一次项系数为偶数时较简便）。

$ 对于一元二次方程 $$ax^{2} + bx + c = 0$$（$$a \neq 0$$），其根的判别式为 $$ =b^{2} - 4ac，$$根据判别式 $$b²-4ac$$的值，可以判别方程的根的情况：当b²-4ac$$＞ 0$$ 时，方程有两个不相等的实数根。举例：方程 $$x^{2} - 3x + 2 = 0，$$其中 $$a = 1, b = -3, c = 2，$$计算判别式b²-4ac=$$ (-3)^{2} - 4 × 1 × 2 = 1 ＞ 0，$$所以方程有两个不相等的实数根 $$x_{1} = 1, x_{2} = 2。$$当 $

b²-4ac=

$= 0$$ 时，方程有两个相等的实数根。举例：方程 $$x^{2} - 2x + 1 = 0，$$其中 $$a = 1, b = -2, c = 1，$$计算判别式 $$b²-4ac= (-2)^{2} - 4 × 1 × 1 = 0，$$所以方程有两个相等的实数根 $$x_{1} = x_{2} = 1。$$当b²-4ac$$ ＜ 0$$ 时，方程没有实数根。举例：方程 $$x^{2} + x + 1 = 0，$$其中 $$a = 1, b = 1, c = 1，$$计算判别式 $$b²-4ac= 1^{2} - 4 × 1 × 1 = -3 ＜ 0，$$所以方程没有实数根。$

 对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），设其两个根为$x_1，$$x_2，$则根与系数的关系为：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}，$$x_1x_2 = \frac{c}{a}。$

$x_1 = 0，$$x_2 = 4$

1

7

B

D

【答案】：
(1)$x_1 = 0$，$x_2 = 4$；(2)$1$；(3)$7$

【解析】：
(1) 方程$x^2 = 4x$移项得$x^2 - 4x = 0$，因式分解得$x(x - 4) = 0$，则$x = 0$或$x - 4 = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = 4$。
(2) 已知方程$x^2 + (k + 3)x + k = 0$的一个根是$-2$，代入得$(-2)^2 + (k + 3)(-2) + k = 0$，即$4 - 2k - 6 + k = 0$，化简得$-k - 2 = 0$，解得$k = -2$。原方程为$x^2 + (-2 + 3)x + (-2) = 0$，即$x^2 + x - 2 = 0$，因式分解得$(x + 2)(x - 1) = 0$，另一个根是$1$。
(3) 对于方程$x^2 - 5x - 2 = 0$，由根与系数的关系得$m + n = 5$，$mn = -2$，则$m + n - mn = 5 - (-2) = 7$。

【答案】：
(1)B
(2)B
(3)D

【解析】：
(1)
A 选项：方程$x^{2}+\frac{1}{x^{2}} = 0$中，$\frac{1}{x^{2}}$不是整式，该方程是分式方程，不是一元二次方程。
B 选项：将$(x - 1)(x + 2)= 3$展开得$x^{2}+2x - x - 2 = 3$，即$x^{2}+x - 5 = 0$，符合一元二次方程的定义。
C 选项：当$a = 0$时，方程$ax^{2}+bx + c = 0$变为$bx + c = 0$，是一元一次方程，不一定是一元二次方程。
D 选项：方程$x^{2}-2xy - 3y^{2}= 0$含有两个未知数$x$和$y$，是二元二次方程，不是一元二次方程。
(2)
对$x^{2}+8x + 7 = 0$进行配方，$x^{2}+8x=-7$，在等式两边加上$16$得$x^{2}+8x + 16 = 9$，即$(x + 4)^{2}= 9$。
(3)
对于一元二次方程$x^{2}+2x + 2 = 0$，其判别式$\Delta = 2^{2}-4×1×2=4 - 8=-4\lt0$，所以方程无实数根。