第11页 - 苏科版九年级伴你学数学答案（上下册）

解：这里$a = 1，$$b = 1，$$c = -1。$

$首先计算判别式$

$b^{2}-4ac = 1^{2}-4×1×(-1)=1 + 4 = 5。$

由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

可得：$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}。$

即$x_{1}=\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}，$$x_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}。$

解;这里$a = 1，$$b=-2\sqrt{3}，$$c = 3。$

判别式$b^{2}-4ac=(-2\sqrt{3})^{2}-4×1×3=12 - 12 = 0。$

由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\b²-4ac}}{2a}$

可得：$x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{0}}{2×1}=\sqrt{3}。$

即$x_{1}=x_{2}=\sqrt{3}。$

 解：这里$a = 2，$$b=-2，$$c = 1。$

计算判别式$b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×2×1=4 - 8=-4\lt0。$

$所以此方程在实数范围内无解。$

 设三个一元二次方程分别为：方程1：$x^{2} - 4x + 4 = 0，$方程2：$x^{2} - 4x + 3 = 0，$方程3：$x^{2} - 4x + 5 = 0。$

 对于方程1：判别式$ b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4×1×4 = 0，$因为$\Delta = 0，$所以方程有两个相等的实数根，解方程$x^{2} - 4x + 4 = 0，$得$x_{1} = x_{2} = 2。$

 对于方程2：判别式$ b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4×1×3 = 4，$因为$\Delta ＞ 0，$所以方程有两个不相等的实数根，解方程$x^{2} - 4x + 3 = 0，$得$x_{1} = 1，$$x_{2} = 3。$

 对于方程3：判别式$b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4×1×5 = -4，$因为$\Delta ＜ 0，$所以方程没有实数根。

 方程解的情况与根的判别式的联系：当b²-4ac$ ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=$= 0$时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac=$＜ 0$时，方程没有实数根。

$b^{2}-4ac$

b²-4ac=

$0$

b²-4ac＞0

$b²-4ac＜0$

解：对于方程 $x^{2} -\ $2x + 2 = 0，

其中 $a = 1，$$b = -2，$c = 2，

计算判别式：b²-4ac=$\ = $

$b^{2} - 4ac = (-2)^{2} - 4\times1\times2 $

$= 4 - 8 = -4，$

由于$b²-4ac＜ 0，$

所以方程无实数根。

解：对于方程 $2x^{2} -\ $2x - 1 = 0，

其中 $a = 2，$$b = -2，$

$c = -1，$

计算判别式：$b^{2} - 4ac = $

$(-2)^{2} - 4\times2\times(-1) = 4 + 8 = 12，$

由于b²-4ac= $＞ 0，$

$$所以方程有两个不相等的

实数根。

 解：对于方程 $\frac{1}{2}x^{2} - 2x + 2 = 0，$首先化为整数系数：$x^{2} - 4x + 4 = 0，$其中 $a = 1，$$b = -4，$$c = 4，$计算判别式：$b²-4ac== b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4\times1\times4 = 16 - 16 = 0，$由于 $b²-4ac= = 0，$所以方程有两个相等的实数根。

 解：(1)因为方程$(m + 1)x^{2}+2mx + m - 3 = 0$是一元二次方程且恒有实数根，所以$\begin{cases}m + 1\neq 0\\b²-4ac==(2m)^{2}-4(m + 1)(m - 3)\geqslant0\end{cases}。$由b²-4ac=$= 4m^{2}-4(m^{2}-3m + m- 3)=4(2m + 3)\geqslant0，$得$2m+3\geqslant0，$即$m\geqslant-\frac{3}{2}$且$m\neq - 1。$

(2)因为$m\geqslant-\frac{3}{2}$且$m\neq - 1，$所以$m$的最小整数为$0，$原方程为$x^{2}-3 = 0，$$x^{2}=3，$解得$x=\pm\sqrt{3}。$

两

不相等

±4

4

【答案】：
判别式$\Delta =b^{2}-4ac$；$\Delta = 0$；$\Delta\gt 0$；$\Delta\lt 0$

【解析】：
本题可根据一元二次方程根的判别式的相关知识进行填空。
一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$根的情况可由判别式$\Delta=b^{2}-4ac$决定：
当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta\gt 0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta\lt 0$时，方程没有实数根。

【答案】：
(1)两；不相等；(2)±4；(3)4（答案不唯一）

【解析】：
(1) 对于方程$x^2 + 3x - 1 = 0$，判别式$\Delta = 3^2 - 4×1×(-1) = 9 + 4 = 13 ＞ 0$，所以有两个不相等的实数根。
(2) 方程$x^2 - kx + 4 = 0$有两个相等实数根，判别式$\Delta = (-k)^2 - 4×1×4 = k^2 - 16 = 0$，解得$k = ±4$。
(3) 方程$x^2 - mx + 3 = 0$有实数根，判别式$\Delta = (-m)^2 - 4×1×3 = m^2 - 12 ≥ 0$，取$m = 4$（满足$m^2 ≥ 12$即可）。