$解：(1)∠FEG=90°.理由如下：$
$由折叠的性质，得∠A'EF=∠AEF，∠B'EG=∠BEG，$
$所以∠A'EF=\frac{1}{2}∠A'EA，∠B'EG=\frac{1}{2}∠B'EB.$
$因为∠A'EA +∠B'EB=180°，$
$所以∠FEG=∠A'EF+∠B'EG=\frac{1}{2}(∠A'EA+∠B'EB)= 90°$
$(2)①因为∠A'EB'=\frac{1}{4}∠B'EB，∠A'EB'=x°，所以∠B'EB=4x°，$
$所以∠B'EG=∠BEG=\frac{1}{2}∠B'EB= 2x°.$
$分类讨论如下：$
$当点B'在∠A'EA外部时，∠A'EA = 180°-∠A'EB'-∠B'EB=(180-5x)°，$
$所以∠A'EF=\frac{1}{2}∠A'EA=(90-\frac{5}{2}x)°，$
$所以∠FEG=∠A'EF+∠A'EB'+∠B'EG=(90+\frac{1}{2}x)°；$
$当点B'在∠A'EA内部时，∠A'EG=∠B'EG-∠A'EB'=x°，$
$所以∠A'EA = 180°-∠A' EG-∠BEG= ( 180-3x)°，$
$所以∠A'EF=\frac{1}{2}∠A'EA=(90-\frac{3}{2}x)°，$
$所以∠FEG=∠A'EF+∠A'EG=(90-\frac{1}{2}x)°，$
$综上所述，∠FEG的度数为(90+\frac{1}{2}x)°或(90-\frac{1}{2}x)°.$
$②若EB'平分∠FEG，则∠FEG=2∠B'EG.因为∠B'EG=2x°，$
$所以∠FEG=4x°.分类讨论如下：$
$当点B'在∠A'EA外部时，∠FEG=( 90 +\frac{1}{2}x)°，$
$则4x=90+\frac{1}{2}x，解得x=\frac{180}{7}，则∠FEG= (\frac{720}{7})°；$
$当点B'在∠A'EA内部时，∠FEG=(90-\frac{1}{2}x)°，$
$则4x=90-\frac{1}{2}x，解得x=20，则∠FEG=80°$
$综上所述，当∠FEG的度数为(\frac{720}{7})°或80°时，EB'平分∠FEG$
