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$-2$或$1$
9
65°
10%
$2\sqrt{13}$
$ \frac{16π}{3} $
连接OA。
∵CD=8m，OC=5m，
∴OD=CD-OC=8-5=3m。
∵CD⊥AB，
∴AD=BD，∠ADO=90°。
在Rt△ADO中，OA=OC=5m，OD=3m，
由勾股定理得：AD²+OD²=OA²，
即AD²+3²=5²，
AD²=25-9=16，
AD=4m。
∴AB=2AD=2×4=8m。
答：水面宽AB为8m。

解;(1) 因式分解法：
$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$
则 $x - 1 = 0$ 或 $x - 2 = 0$
解得 $x_1 = 1，$$x_2 = 2$

$解：移项得(3x - 2)^{2}-(x + 4)^{2}=0$
$根据平方差公式a^2-b^2=(a+b)(a-b)，$
$这里a = 3x - 2，b = x + 4$
$(3x - 2+x + 4)(3x - 2-(x + 4))=0$
$(4x + 2)(2x - 6)=0$
$2(2x+1)×2(x - 3)=0$
$(2x + 1)(x - 3)=0$
$则2x+1 = 0或x - 3 = 0$
$解得x_{1}=-\frac{1}{2}，x_{2}=3$
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，
这里$a = 2$，$b=-3$，$c = - 1$
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
先求$\Delta=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×2×(-1)=9 + 8=17$
则$x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}$
所以$x_{1}=\frac{3+\sqrt{17}}{4}$，
$x_{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$
【答案】：
140°

【解析】：
连接OC，因为OA=OC，所以∠OCA=∠CAB=20°，则∠AOC=180°-20°×2=140°。因为AB是直径，CD⊥AB，所以AB垂直平分CD，故∠AOC=∠AOD=140°。
【答案】：
$-2$或$1$（如果选项是单独对应填写形式则根据实际选项填写，这里按常规填答案）若为填空题形式则答案为$-2$或$1$。

【解析】：
将$x=-1$代入方程$2x^{2}+ax - a^{2}=0$中，得到$2×(-1)^{2}+a×(-1)-a^{2}=0$，即$2 - a - a^{2}=0$，等式两边同时乘以$-1$得$a^{2}+a - 2=0$，因式分解为$(a + 2)(a - 1)=0$，则$a + 2=0$或$a - 1=0$，解得$a=-2$或$a = 1$。
【答案】：
9

【解析】：
已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-x - 3 = 0$的两个实数根分别为$\alpha$、$\beta$，根据韦达定理可知$\alpha +\beta = 1$，$\alpha\beta = - 3$。
将$(\alpha + 3)(\beta + 3)$展开可得$\alpha\beta+3\alpha + 3\beta + 9=\alpha\beta + 3(\alpha + \beta)+9$。
把$\alpha +\beta = 1$，$\alpha\beta = - 3$代入上式可得：$-3+3×1 + 9=-3 + 3+9 = 9$。
【答案】：
65°

【解析】：
连接AC，∵AB是半圆直径，∴∠ACB=90°（直径所对圆周角是直角）。在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=90°，∴∠BAC=180°-90°-50°=40°。∠BAC所对弧为BC，故弧BC度数=2×40°=80°。∵AB为直径，弧AB=180°，∴弧AC=弧AB-弧BC=180°-80°=100°。∵D是弧AC中点，∴弧AD=弧DC=100°÷2=50°。∠DAC为弧DC所对圆周角，∴∠DAC=50°÷2=25°。∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=25°+40°=65°。
【答案】：
$10\%$

【解析】：
设每次降价的百分率为$x$，则第一次降价后的价格为$100(1 - x)$元，第二次降价后的价格为$100(1 - x)^2$元。
根据题意，有方程：$100(1 - x)^2 = 81$，
$(1 - x)^2 = 0.81$，
$1 - x = \pm 0.9$，
解得$x_1 = 0.1$，$x_2 = 1.9$（舍去，因为降价百分率不能超过$100\%$）。
所以降价的百分率为$10\%$。
【答案】：
$2\sqrt{13}$

【解析】：
设⊙O的半径为$r$，∵OD⊥AB于C，AB=8，∴AC=4，OC=OD-CD=r-2。在Rt△OAC中，由勾股定理得$r^2=4^2+(r-2)^2$，解得$r=5$，则OC=3，AE=10（直径）。连接BE，∵AE为直径，∴∠ABE=90°。在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。在Rt△BCE中，BC=4，BE=6，∴EC=$\sqrt{BC^2+BE^2}=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$。
【答案】：
$\frac{16\pi}{3}$
【解析】：
步骤1：证明△ABD与△CDE的性质及三角形全等
-因为△ABD和△CDE都是等边三角形，所以AB = BD，DE = DC，∠ABD = ∠CDE = 60°。
进一步可证△ACD ≌ △BED（SAS），从而推出∠PAD = ∠PBC。
步骤2：确定点P的运动轨迹
由∠PAC = ∠PBC，可知点P在以AB为弦，圆周角为60°的圆上（根据圆周角定理的逆定理）。
当D与B重合时，点P与B重合；当D与C重合时，点P与C重合。
因此，点P的运动轨迹是一段圆弧，对应的圆心角为120°（因为圆周角为60°，圆心角是其2倍）。
步骤3：计算圆弧的半径和长度
已知BC = 8√3 cm，通过几何关系可推导出该圆弧的半径R = 8 cm。
圆弧长度公式为l = $\frac{n\pi R}{180}$（n为圆心角），代入n = 120°，R = 8 cm：
l = $\frac{120×\pi×8}{180}=\frac{16\pi}{3}$ cm
连接OA。
∵CD=8m，OC=5m，
∴OD=CD-OC=8-5=3m。
∵CD⊥AB，
∴AD=BD，∠ADO=90°。
在Rt△ADO中，OA=OC=5m，OD=3m，
由勾股定理得：AD²+OD²=OA²，
即AD²+3²=5²，
AD²=25-9=16，
AD=4m。
∴AB=2AD=2×4=8m。
答：水面宽AB为8m。
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