第13页 - 苏科版九年级伴你学数学答案（上下册）

$ 解一元二次方程的方法及对应方程特点如下： $

 1. 直接开平方法：适用于形如$x^2 = a(a \geq 0)$或$(x + m)^2 = n(n \geq 0)$的方程。例：$x^2 = 4，$解得$x = \pm 2。$

 2. 配方法：适用于所有一元二次方程，尤其二次项系数为1且一次项系数为偶数时较简便。例：$x^2 + 4x - 5 = 0，$配方得$(x + 2)^2 = 9，$解得$x_1 = 1，$$x_2 = -5。$

 3. 公式法：适用于所有一元二次方程，求根公式为$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}(b^2 - 4ac \geq 0)。$例：$2x^2 - 3x - 1 = 0，$其中$a = 2，$$b = -3，$$c = -1，$解得$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}。$

 4. 因式分解法：适用于方程一边为0，另一边能分解成两个一次因式乘积的形式。例：$x^2 - 3x = 0，$分解为$x(x - 3) = 0，$解得$x_1 = 0，$$x_2 = 3。$

解：$ 根据平方根的定义，$

若$a^2 = b，$则$a = \pm\sqrt{b}。$

对于方程$(x + 2)^2 = 1，$可得$x + 2 = \pm1。$

当$x + 2 = 1$时，$x = 1 - 2 = -1；$

当$x + 2 = -1$时，$x = -1 - 2 = -3。$

所以方程的解为$x_1 = -1，$$x_2 = -3。$

解：移项得$x^2 - x = 0，$

提取公因式$x，$可得x(x - 1) = 0。

则$x = 0$或$x - 1 = 0，$

解得$x_1 = 0，$$x_2 = 1。$

 解：根据“若$ab = 0，$则$a = 0$或$b = 0$”，对于方程$(x - 2)(x + 1) = 0，$有$x - 2 = 0$或$x + 1 = 0。$当$x - 2 = 0$时，$x = 2；$当$x + 1 = 0$时，$x = -1。$所以方程的解为$x_1 = 2，$$x_2 = -1。$

 解：①方程$(x + 2)^2 = 1$可用直接开平方法，因为其符合$a^2 = b$（$b\geq0$）的形式，根据平方根定义求解。

②方程$x^2 = x$可用因式分解法，移项后提取公因式化为$x(x - 1) = 0，$再根据“若$ab = 0，$则$a = 0$或$b = 0$”求解；也可用公式法，将其化为一般形式$x^2 - x = 0，$其中$a = 1，$$b = -1，$$c = 0，$代入求根公式$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}，$计算得$x_1 = 0，$$x_2 = 1。$

③方程$(x - 2)(x + 1) = 0$可用因式分解法，直接根据“若$ab = 0，$则$a = 0$或$b = 0$”求解；也可用公式法，化为一般形式$x^2 - x - 2 = 0，$其中$a = 1，$$b = -1，$$c = -2，$代入求根公式可得$x_1 = 2，$$x_2 = -1。$

 用因式分解法求解一元二次方程的步骤如下：1. 将方程化为一般形式 $ax^{2} + bx + c = 0；$2. 通过因式分解，将方程左边分解成两个一次因式的乘积 $(x - x_1)(x - x_2) = 0$ 的形式；3. 根据零因子定理，若两数之积为0，则至少有一个数为0，得到 $x - x_1 = 0$ 或 $x - x_2 = 0；$4. 求解得到方程的两个根 $x_1,x_2。$例如，对于方程 $x^{2} - 5x + 6 = 0$：因式分解为 $(x - 2)(x - 3) = 0；$解得 $x_1 = 2，$$x_2 = 3。$

 解：利用平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)，$对$(3x - 1)^2-4x^2 = 0$进行因式分解，这里$a = 3x-1，$$b = 2x，$则有$(3x - 1 + 2x)(3x - 1-2x)=0，$即$(5x - 1)(x - 1)=0，$所以$5x - 1 = 0$或$x - 1 = 0，$当$5x - 1 = 0$时，$x_1=\frac{1}{5}；$当$x - 1 = 0$时，$x_2 = 1。$

 解：移项可得$3x^2-2x = 0，$提取公因式$x，$得到$x(3x - 2)=0，$则$x = 0$或$3x - 2 = 0，$当$x = 0$时，$x_1 = 0；$当$3x - 2 = 0$时，$x_2=\frac{2}{3}。$

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